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Jefgenia (Seftel)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 11:23: | 
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Benötige dringend die Lösung folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Produktionsfunktion
f(x,y,z) = x^2+y^2-xz.
a, Zeigen Sie mit dem Satz der Eulerschen Homogenitätsrelation (noch nie gehört!!), daß die Funktion homogen ist.
b, Geben Sie die Stellen (x,y,z) an, in denen die Funktion unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen x+y+z =1 Extremwerte annehmen kann. Eliminieren Sie eine variable durch Substitution.
c, Geben Sie an, um welche Art von Estremum es sich jeweils bei den in b, ermittelten Stellen handelt und bestimmen Sie die Extremalpunkte.
Vielen Dank
Gruß Jefgenia |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 13:57: |
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Hallo :
Definition : f(x,y,z) heisst homogen vom Grad k
g.d.w. fŸr alle t die Homogenitaetsrelation
f(tx,ty,tz) = t^k*f(x,y,z)
erfŸllt ist.
Damit sollte a) klar sein.
b) z = 1-x-y in f eingesetzt liefert die
Zielfunktion
g(x,y) = 2 x^2 + y^2 + xy - x
Notwendige Bedingung fŸr ein relatives Extremum
im Punkt P_0 = (x_0,y_0) ist das Verschwinden der
partiellen Ableitungen g_x(x_0,y_0) und g_y(x_0,y_0). Das ergibt (rechne nach !) :
P_0 = (2/7 , - 1/7).
c) Berechne die Determinante
D(P) := g_xx*g_yy - (g_xy)^2
Wenn g_xx(x_0,y_0) > 0 und D(P_0) > 0, so liegt
in P_0 ein relatives Minimum vor.
Gruss
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 22:00: |
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Noch eine Bemerkung zu a) :
differenziert man die Homogenitaetsbedingung nach der Varablen t und setzt danach t = 1, so erhaelt man die Eulersche Relation
x*f_x + y*f_y + z*f_z = k*f |
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