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Beitrag |
    
ANDREAS
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 10:50: | 
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Wieviele Lösungen besitzt die Gleichung
x=cos x ? Bestimmen Sie diese (Genauigkeit des
Funktionswertes: 5*10^-5). |
Andreas
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 16:34: |
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Hallo Andreas!
Hierfür brauchst du ein Iteration- d.h. Näherungsverfahren.
Z.B. das Newtonsche:
Zuerst die Gleichung nach 0 auflösen:
cos x - x = 0
Wähle dann einen Startwert, für den die Gleichung ungefähr stimmt. Hier z.B.: x=0,75 (mit dem Taschenrechner probieren)
Die Näherungsformel heißt:
Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn)
Hier: f(x)= cos x - x
f'(x)= -sin x - 1
Indem du für Xn deinen gewählten Startwert einsetzt bekommst du mit Xn+1 als Lösung einen etwas genaueren Wert. Wenn du diesen wieder für Xn in die Formel einsetzt erhälst du einen noch genaueren Wert usw.
Beispiel für x=0,75
Xn+1 = 0,75 - (cos 0,75 - 0,75)/(-sin 0,75 - 1)
= 0,739111138
Diesen Wert nimmt du nun und setzt in wieder in die Formel ein.
Wiederhole das solange, bis sich die 5. Nachkommastelle nicht mehr ändert. Dann ist das Ergebnis genau genug. |
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