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Beitrag |
    
hase
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 01:54: | 
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Könnte mir jemand den Lösungsansatz (z.B. anhand von charakteristischen Beispielen) für die partikuläre Lösung von Differentialgleichungen näher bringen?
Für ein Feedback wäre ich sehr dankbar... |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 15:54: |
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Hallo :
Es geht vermutlich um Differentialgleichungen
der Form
(1) L[y] = f(t)
wobei
(2) L[y] := y"(t) + p(t)*y'(t) + q(t)
und die Koeffizientenfunktionen p(t),q(t)
gegeben sind, ebenso die "Stoerfunktion" f(t).
Bekanntlich gilt: Sind y_1(t) und y_2(t) 2 linear
unabhaengige Loesungen der homogenen Gleichung
L[y] = 0 und g(t) irgendeine ("partikulaere")
Loesung der inhomogenen ("gestoerten") Gleichung
L[y] = f, so lautet die allgemeine Loesung der
letzteren :
(3) y(t) = C_1*y_1(t) + C_2*y_2(t) + g(t).
Angenommen, ein Fundamentalsystem {y_1(t),y_2(t)}
ist schon bekannt (bei konstanten Koeffizienten
p,q mit Hilfe der charakteristischen Gleichung
leicht zu bestimmen), so muss man also ein g(t)
finden (welches, das ist unerheblich). Wenn man
Glueck hat, genuegt die "Methode des scharfen
Hinsehens" .
Beispiel : y" + 2*y = t
Man sieht sofort : g(t) := (1/2)t leistet das
Verlangte (l.d.V.).
Andernfalls kennt man die Methode der "Variation
der Konstanten". Dazu macht man den Ansatz
(4) g(t) = u(t)*y_1(t) + v(t)*y_2(t)
und sucht u(t),v(t) so zu bestimmen, dass (1)
erfuellt wird. Man bildet zunaechst
(5) g'(t) = [u*(y_1)' + v*(y_2)'] +
[u'*y_1 + v'*y_2]
und verfuegt ueber u,v so, dass die 2. Klammer =0
wird. Dann ergibt sich (nachrechnen !)
(6) L[g] = u'*(y_1)' + v'*(y_2)'
Man setzt dies = f(t). So gewinnt man fuer u',v'
das lineare Gleichungssystem
(7) (y_1)*u'+(y_2)*v' = 0,(y_1)'*u'+(y_2)'*v'=f.
Das loest man nach u',v' auf und kommt auf
(8) u'=-(f*y_2)/W(y_1,y_2),v'=(f*y_1)/W(y_1,y_2)
und dabei ist
(9) W(y_1,y_2) := y_1*(y_2)' - y_2*(y_1)'
die sog. Wronski-Determinante. Aus (8) sind nun
u(t), v(t) durch Integration zu bestimmen.
Beispiel : y" + y = t^2
Ein Fundamentalsystem ist {cos(t),sin(t)} ==>
W(cos(t),sin(t)) = 1,
u(t) =-int(t^2*sin(t))dt = (t^2-2)cos(t)-2tsin(t)
v(t) = int(t^2*cos(t))dt = (1/4)[2t + sin(2t)] ==>
g(t) = u(t)*cos(t) + v(t)*sin(t) l.d.V.
Bitte alles nachrechnen ! FŸr hoehere Ordnung
geht alles mutatis mutandis genau so.
Gruss
Hans |
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