| Autor |
Beitrag |
    
Micha
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 23:41: | 
|
An dieser Aufgabe haben sich schon mehrere die Zähne ausgebissen, aber noch niemand ist auf den Lösungsweg gekommen. Was raus kommt, weiss ich. Nur den Lösungsweg finde ich nicht.
Wenn es jemand schafft bitte bei mir melden:
Michaela.Reisner@bigfoot.de
Aufgabe:
3( X^2 + X^(1/2) ) = 252 |
Markus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 10:36: |
|
...was bei mir nicht so ganz funktioniert hat.
Ich kann Dir mal die Fehlermeldung schicken, wenn
Du willst. So, jetzt die Lösung :
3(x^2+x^(0.5))=252 /:3
x^2+x^(0.5) =84 / probieren
-> x=9, Test : 9^2 + 9^0.5 = 81 + 3 = 84
WM_hoffentlichschaustdunochmalnach Markus |
Ilko Lödige (Iloedige)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 11:17: |
|
Hallo Michaela,
hier mein Loesungsvorschlag,
3*( x^2 + x^1/2 ) = 252
3*x^2 + 3*x^1/2 = 252 / :3
x^2 + x^1/2 = 84
x^2 + x^1/2 - 84 = 0
Auf die Normalform bringen:
=> für 'x' wird 9 in die Funktion eingesetzt somit wird die gesamte Funktion null (0).
Probe: 3*( x^2 + x^1/2 ) - 252 = 0
Probiere mal aus.
Viele Gruesse Ilko |
2-Frager
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 14:36: |
|
An Markus: Wieso Fehlermeldung?
An Ilko: Welche Funktion? |
Micha
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 14:52: |
|
Leider laufen alle bisherige Lösungen immer nur auf probieren raus. Das kann doch wohl nicht die eigentliche Lösung sein. Gibt es denn keine Möglichkeit, die Formel "sauber" nach mathematischen Formeln umzustellen, um auf die Lösung zu kommen? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 16:41: |
|
Hi Micha, wie schon gesagt, schau dir z.B. den Abschnitt über Gleichungen vierten Grades in Kapitel 2.4.2.3 im Bronstein an.
Die Gleichung Öx = 84-x² geht durch quadrieren in die Gleichung
x = 7056-168x2+x4 über, in Normalform
x4 -168x2 -x +7056 = 0
hat diese bereits reduzierte Form (x3 fehlt)
x4 +px2 +q +r = 0
mit p=-168, q=-1, r=7056
Weiter steht dort:
Quote:Das Lösungsverhalten dieser Gleichung ist abhängig vom Lösungsverhalten ihrer kubischen Resolvente z3 + 2pz2 + (p2 - 4r)z -q2 = 0
also mit den obigen p,q,r eingesetzt:
kubische Resolvente: z3 -336z2 + (168²-4*7056)z -1 = 0, wobei bei deiner Aufgabe "zufällig" das (168²-4*7056)=0 ist, so dass die Gleichung der kubischen Resolvente endgültig heißt:
z3 -336z2 -1 = 0
Dann steht da (nur der hier zutreffende Fall, im übrigen ab jetzt mit z aus der Grundmenge der komplexen Zahlen):
hat die kubische Resolvente eine reelle Wurzel und zwei konjugiert komplexe, so hat die Gleichung vierten Grades (also x4 +px2 +q +r = 0) zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Wurzeln. Später wird nicht nur die Art der Lösungen (komplex, reell) wichtig sein, sondern auch ihr Zahlenwert, deshalb gleich schon mal:
Es interessieren also zunächst die Lösungen der Gleichung
z3 -336z2 -1 = 0
allgemein z3 + Rz2 +Sz + T = 0, hier mit R=-336, S=0, T=-1
Diese kubische Gleichung muss reduziert werden auf eine Gleichung der Form y3 + Py + Q = 0 , und zwar durch die Substitution y=z+ R/3, wobei dann P=(3S-R²)/3 und Q=2R³/27 - RS/3 + T
hier vereinfacht (wegen S=0)
P=-R²/3 und Q=2R³/27 + T
(das war graue Theorie)
also in der Praxis etwas einfacher, da S=0:
ersetze z nach y=z-112, also z=y+112:
=> (y+112)3 -336(y+112)2 -1 = 0
=> y3 +3*112y2 + 3*112²y + 112³ - 336(y2 + 2*224y + 112²) -1 = 0
ich ruf gleich auch 112
=> y3 + 3*112y2 + 3*112²y + 112³ - 336y2 + 336*2*224y + 336*112² -1 = 0
=> y3 + 37632y + 1404928 - 75264y - 4214784 - 1 = 0
=> y3 - 37632y + 2809857 = 0
Diese Gleichung hat leider keine rationalen Lösungen, daher verweise ich dich ab hier auf den weiteren Weg:
betrachte das Vorzeichen der Diskriminante D=(P/3)³+(Q/2)²
D=-1404928.25, dies ist negativ, also gibt es drei reelle Lösungen.
Auf die Cardanische Lösungsformel (die einen "Durchgang durchs komplexe" erfordert, obwohl die Lösungen reell sein müssen) kann verzichtet werden, mit den Bezeichnungen
r = Ö(-p³/27), cosf=-Q/2r
folgen dann die drei Lösugen der Gleichung
=> y3 +Py + Q = 0
zu y1 = 2*(3Ör)cos(f/3)
und y2 = 2*(3Ör)cos[(f+2p)/3]
und y3 = 2*(3Ör)cos[(f+4p)/3]
von denen man wiederum mittels zk = yk -R/3 zu den Lösungen der gegebenen kubischen Gleichung
z3 + Rz2 +Sz + T = 0 übergehen kann. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 17:04: |
|
Die (zuletzt bereits resubstituierten) Lösungen z1, z2, z3 der kubischen Resolvente ergeben nach den Beziehungen
x = (1/2)[±(Öz1)±(Öz2)±(Ö z3)]
derart drei verschiedene Lösungen für x, indem immer nur eines der ± ein Minus ist, die vierte Lösung ergibt sich, wenn alle drei Vorzeichen Minus sind.
Warum jetzt auf einmal vier Lösungen möglich sind, weiß ich auch nicht genau, ich bin nur Laie auf dem Gebiet und habe den Überblick schon längst verloren, du bist es, die sich dafür interessiert. Wenn du allerdings weiterkommst, bitte ich dich doch, dies hiereinzuschreiben. Im Moment würde mir eine Näherungslösung alle mal reichen.
Wenn du noch Fragen hast, frag doch mal den Dirk alias Goldfinger, der scheint auf Seite http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/6575.html regelmäßig vorbeizuschauen, der versteht mehr davon.
Gruß, Bernd |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:12: |
|
Hi Micha,
Mein Beitrag zu Deiner Gleichung ist etwas summarisch,
aber hoffentlich dennoch nützlich
Ich nehme an, dass Du alle reellen Lösungen dieser
Gleichung bestimmen möchtest.
Meine Empfehlung:
Substitution : z = wurzel(x); selbstredend ist z als
Quadratwurzel nicht negativ; dies sei vorgemerkt.
Die Gleichung in z lautet
z ^ 4 + z - 84 = 0 mit der ganzzahligen Lösung z = 3,
( 3 ist ein Teiler von 84 und wir versäumen nicht ,diese
Zahl als eine potentielle Lösung zu testen ).
Wir dividieren das Gleichungspolynom vierten Grades
in z links vom Gleichheitszeichen mit dem Wurzelfaktor
z - 3;
der Quotient lautet
z ^ 3 + 3 z ^ 2 + 9 z + 28
Es gilt nun, die Nullstellen diese Polynoms zur nachherigen
Ermittlung von x = z ^ 2 als Lösung der ursprünglichen
Gleichung.
Wie oben festgehalten, ,darf z = wurzel(x) nicht negativ sein.
Die Gleichung z ^ 3 + 3 z ^ 2 + 9 z + 28 = 0
kann jedoch keine positiven Lösungen haben, da die
Summe von vier positiven Summanden nicht null sein kann.
In Tat und Wahrheit hat die Gleichung genau eine reelle
und zwar negative Lösung mit dem Näherungswert
z ~ - 3.054554472 (!)
Fazit:
Die gegebene Gleichung besitzt eine und nur eine
reelle Lösung , nämlich x = 9.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:40: |
|
Hi megamath, Wow.
Nachdem ich diese Substitution ausgeführt habe, wusste ich nicht mehr weiter.
Wow.
Anschaulich war es an den Graphen von Öx und 84-x² ja klar, dass sie nur einen Schnittpunkt haben, aber das gilt ja bekanntlich nicht als Beweis.
Noch eine Frage zum oben abgeschriebenen Lösungsverfahren:
Habe ich beim abschreiben was übersehen, oder wie komme ich zu dem Schluss:
...hat die Gleichung vierten Grades (also x4 +px2 +q +r = 0) zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Wurzeln
? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:46: |
|
ich meine x4+px2+qx+r=0 |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 15:44: |
|
Hi B. Bernd,
...ich möchte mein senf auch nochmal dazugeben...
Wie man aus dem ersten Teil des Exkurses sehr leicht nachvolziehen kann, kann man biquadratische Gleichungen in das produkt 2 er quadratpolynome zerlegen.
sind Beide Diskriminanten der quadratpolynome
positiv/negativ, so erhält man 4 reelle/komplexe Lösüngen. Sind sie verschieden, sob erhält man stehts 2 Reelle und 2 konjugiert komplexe lösungen.
übrigens ich würde immer das Bombelliverfahren wählen.(Nur wenn die gegebene Gleichung vierten Grades gegeben ist, ist Ferrarie zu empfelen
Gruß N. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 16:18: |
|
Ja, Danke, Niels, ich weiß aber noch nicht, wann ich Zeit haben werde, dies mal genauer anzusehen.
Bis jetzt verstehe ich noch nichts von Bombelli und Ferrarie.
Gruß Bernd |
|
