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Beitrag |
    
jane
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 10:01: | 
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Aufgabe:In einem quadratischen Strassennetz befinden sich zum Zeitpunkt 0 der Irrfahrer A
in der Position (0,0) und der Irrfahrer B in der
Position (2n,2n). Irrfahrer A geht in unabhängigen
Schritten (mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ) nach
Norden oder Osten, Irrfahrer B geht entsprechend
zufällig nach Süden oder Westen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich die Irrfahrer zum Zeitpunkt n ?
Danke voraus! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 19:57: |
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Hi Jane,
nach n Schritten befinden sich A und B irgendwo auf der von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen des Gitters.
Diese möglichen Treffpunkte haben die Gestalt (i,j) mit i+j=n.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, daß A sich nach n Schritten bei (i,j) befindet? Antwort (ni). Warum?
Der Weg von A zum Gitterpunkt (i,j) besteht aus i Schritten nach rechts und j Schritten nach oben. Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge die Schritte nach rechts oder oben angeordnet sind. A macht n Schritte, davon führen i nach rechts (und die anderen nach oben). Wieviele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen (Schritten) genau i auszusuchen? (ni)
Die Anzahl aller möglichen Wege aus n Schritten ist 2n.
Also ist die Wahrscheinlichkeit, daß A sich nach n Schritten am Punkt (i,j) befindet gleich: (ni)/2n.
Das war jetzt A. Und B? Das ist das gleiche Ergebnis. Bei B muß man nur rechts statt links und unten statt oben schreiben.
Und wie groß ist nun die W'keit, daß die beiden sich an einem Punkt (i,j) treffen?
[(ni)/2n]2
Die Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren sich, denn die beiden bewegen sich unabhängig.
Das ist wie beim Würfeln. Stellen wir uns vor, 2 Personen würfeln mit 2 Würfeln und notieren die Gesamtzahl der Augen. Wie groß ist dann die W'keit, daß beide die gleiche Summe geworfen haben? Falls A eine 2 wirft, muß also auch B eine 2 werfen. Die W'keit für eine 2 ist 1/36. Die W'keit für zweimal 2 ist 1/36*1/36, usw.
Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, daß A und B sich treffen
= Sn i=0 [(ni)/2n]2
= 1/22n * Sn i=0 [(ni)]2
Für einige n habe ich es ausgerechnet:
n=0 => p=1
n=1 => p=1/2
n=2 => p=3/8
n=6 => p=924/4096 = 0.225
Gruß
Matroid |
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