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Beitrag |
    
Thomas (Tiamat)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 16:52: | 
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Hilfe an alle!
ich habe eine Aufgabe aus dem Bereich Vektoralgebra mit der ich nicht weiter komme:
1.Eine Ebene wird durch den Normalvektor n=(1 0 1)T
und den Punkt P0 (1;3;2) bestimmt. Eine Gerade verläuft durch die Punkte P1(9;-4;12) und
P2(-3;2;-3).
Geben Sie die Ebenengleichung in der parameterfreien. skalaren Form an!
Bestimmen Sie die Geradengleichung sowie den
Durchstoßpunkt der Geraden durch die Ebene!
Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.
Für Hilfe wäre ich sehr Dankbar.
Gruß Thomas |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 21:27: |
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Hallo Thomas,
P1=(9;-4;12)
P2=(-3;2;-3)
P0=(1;3;2)
n=(1;0;1)
=============
Ebene E durch P0 und mit Normalenvektor n:
1(x-1)+1(z-2)=0
x+z=3....Gleichung von E.
===========================
Gerade durch P1 und P2:
P2-P1=(-12;6;-15)
Richtungsvektor=(-4;2;-5)
Durch P1:
(x+3)/(-4)=(y-2)/2=(z+3)/(-5)....Geradengleichung
=====================
Durchstoßpunkt:
Aus Geradengleichung: -5(x+3)=-4(z+3)
-5x+4z=3
Aus Ebenengleichung: z=3-x einsetzen:
-5x+4(3-x)=3
x=1
z=3-x=2
Aus:
2x+6=-4y+8
2+6=-4y+8
y=0
Durchstoßpunkt D=(1;0;2)
=============
Winkel folgt später. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 21:50: |
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Hallo Thomas,
Winkel:
Wir rechnen zuerst den Winkel zwischen der Geraden und der Normalen der Ebene:
Ich nenne jetzt den Richtungsvektor der Geraden: g=(-4;2;-5)
n=(1;0;1)
cos(a)= g.n/(|g||n|)
g.n = (-4;2;-5).(1;0;1) = -9
|g| = W(45)
|n| = W(2)
also: cos(a) = -9/W(90)
a = -161,565°
Der Winkel zwischen Ebene und Geraden ist dann 90°-a= 71,56°
Das Minuszeichen ist belanglos.
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Maria
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 09:36: |
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Hallo, kann mir jemand helfen ich bin Matheanfänger.
1.Beweise oder widerlege:
a)(A x B)schnitt(C x D)=(AschnittC)x(BschnittD)
b)(AvereinigtC)x(BvereinigtD)teilmenge(AxB)vereinigt(CxD)
c)(AxB)vereinigt(CxD)teilmenge(AvereinigtC)x(BvereinigtD)
Vielen Dank! |
Susi
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 09:46: |
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Hi, an alle die mir helfen können!
Aufgabe:Kläre, ob folgende Funktionen
f:Rhoch3 impliziert Rhoch3
i)injektiv
ii)surjektiv sind.
a)(x,y,z)daraus folgt (xyz,yz,z)
b)(x,y,z)daraus folgt (x+11y, x-3y+7z, x-3y-8z).
Uuuunnnddd Danke!!!!!! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 13:13: |
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a) nicht injektiv (z.b. f(x,y,0)=(0,0,0) )
nicht surjektiv,denn z.b. ist f(x,y,z)=(1,y,0) nicht lösbar
b) Injektiv und surjektiv. Läuft auf ein GLS hinaus.
f(x,y,z)=f(a,b,c) ist für festes (a,b,c) ein lineares Gleichungssytem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten,welches in diesem Fall eindeutig lösbar ist durch x=a , y=b und z=c.
Surjektivität : sei (a,b,c) gegeben => f(x,y,z)=(a,b,c) ist GLS mit drei Unbekannten und drei linear unabhängigen Lösungen => eindeutig lösbar
Wenn Ihr Euch schon mit linearen Abbildungen befaßt habt,reicht es auch zu zeigen,daß kern(f)={0},um Surjektivität und Injektivität zu zeigen. |
Susi
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 20:39: |
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Vielen Dank Ingo, aber kannst du dies anhande einer anderen Beispiel noch einmal erklären bitte.
Unnnnnd Danke!!! |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 16:31: |
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hm...nehmen wir mal f(x,y)=(xy,x+y)
wieder die Frage ob das surjektiv und/oder injektiv ist.
1) nicht injektiv, da f(x,y)=f(y,x)
2) nicht surjektiv, denn f(x,y)=(1,0) ist nicht lösbar. Es müßte ja x=-y folgen und somit f(y,-y)=(-y2,0) aber -y2 wird nie eins für yÎIR
Injektiv heißt ja,daß es höchstens ein Urbild gibt,surjektiv,daß jedes ein Urbild besitzt.Also sind die Rechenansätze
1) f(x)=f(y) wobei x,y durchaus Vektoren sein können(also hier zweidimensional)
Ziel ist es zu zeigen,daß x=y.Dann läge Injektivität vor.
2) f(x)=a
Ziel ist es hier zu zeigen,daß es für jedes a aus der Bildmenge ein oder auch mehrere Urbilder x aus der Definitionsmenge gibt. Also versucht man eins dirket anzugeben,oder durch Umformungen die Gleichung auf x=g(a) zu bringen mit geeigneter Funktion g |
Maria
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 13:06: |
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Hallo, kann mir jemand helfen ich bin Matheanfänger.
1.Beweise oder widerlege:
a)(A x B)schnitt(C x D)=(AschnittC)x(BschnittD)
b)(AvereinigtC)x(BvereinigtD)teilmenge(AxB)vereinigt(CxD)
c)(AxB)vereinigt(CxD)teilmenge(AvereinigtC)x(BvereinigtD)
Vielen Dank! |
Susi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 13:09: |
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Hi, an alle die mir helfen können!
Aufgabe:Kläre, ob folgende Funktionen
f:Rhoch3 impliziert Rhoch3
i)injektiv
ii)surjektiv sind.
a)(x,y,z)daraus folgt (xyz,yz,z)
b)(x,y,z)daraus folgt (x+11y, x-3y+7z,x-3y-8z).
Uuuunnnddd Danke!!!!!! |
Christoph (Zottel)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:49: |
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Hallo,
kann mir jemand den Sinussatz (sin (alpha)/a = Sin (beta)/b = sin (gamma)/c ) anhand der Vektoralgebra beweisen?
Vielen Dank im Vorraus. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 09:38: |
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Hi Christoph,
Wir können den Sinussatz vektoriell
mit Hilfe des Vektorproduktes beweisen
( in a x b ist "x" das Operationszeichen für
die vektorielle Multiplikation) .
Seien u , v, w die Seitenvektoren des Dreiecks ABC
Es gelte u = BC
(Verbindungsvektor der Ecken B,C in dieser Reihenfolge)
v = CA , w = BA analog.
alpha ,beta ,gamma sind die Innenwinkel bei A, B ,C
Für die Vektorsumme s = u + v - w gilt s = 0 (Nullvektor)
Wir multiplizieren diese Gleichung vektoriell von rechts mit w
und beachten , dass das Vektorprodukt w x w = 0 (Nullvektor)
Es entsteht:
(u + v + w ) x w = 0 ,Klammer gelöst:
u x w + v x w = 0 oder
u x w = - v x w , also
u x w = w x v ; jetzt gehen wir zu den Beträgen der Vektorprodukte
links und rechts über ( abs(u) sei der absolute Betrag des Vektors u)
Wir erhalten:
abs(u) * abs(w) * sin(beta) = abs(w) * abs (v )* sin (alpha)
Wir identifizieren die Absolutbeträge der Vektoren
als Längen a, b. c der Dreieckseiten und bekommen:
a * c * sin(beta) = c * b * sin(alpha) ;
der Faktor c hebt sich weg;
übrig bleibt die Aussage des Sinussatzes.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
sebastian (Basst)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 17:18: |
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hallo zusammen,
kann mir jemand helfen?
berechne die inverse matrix.
1 1 -1 1
2 1 -1 -1
A= 1 2 2 -2
1 -1 -1 3 |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 02:59: |
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Hallo Sebastian,
wie du eine 3x3-Matrix invertieren kannst, habe ich auf dieser Seite am 27.September beschrieben.
Es ist nämlich bei deiner so, dass eine ziemliche Tipparbeit erforderlich ist, da keine ganzen Zahlen herauskommen, wie du siehst:
Die zu deiner Matrix
| 1 | 1 | -1 | 1 | | 2 | 1 | -1 | -1 | | 1 | 2 | 2 | -2 | | 1 | -1 | -1 | 3 | |
inverse Matrix lautet
| -0,4 | 0,4 | 0,2 | 0,4 | | 0,8 | -0,3 | 0,1 | -0,3 | | -0,3 | -0,2 | 0,4 | 0,3 | | 0,3 | -0,3 | 0,1 | 0,2 |
so dass du siehst, welche rauskommen muss.
Übrigens: Eingabe einer Matrix in diesem Forum mit dem Befehl
\table{1,1,-1,1
2,1,-1,-1
1,2,2,-2
1,-1,-1,3}
Gruß Bernd |
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