| Autor |
Beitrag |
    
anne Lilie (Lilie)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 13:30: | 
|
Hallo,
ich möchte den grundlegenden Unterschied zwischen Körper,angeordnete Körper und Gruppen wissen.
Danke, |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 18:48: |
|
Hallo Anne, in einem Körper hast du zwei Operationen (Addition und Multiplikation) und in einer Gruppe erst mal nur eine.
Ein Körper (K,+,*,0,1) wird durch Weglassen der Operation * automatisch zu einer Gruppe (K,+,0). Andererseits lässt sich nicht jede Gruppe so aus einem Körper erhalten.
Achtung: (K,*,1) ist keine Gruppe!
In einem angeordneten Körper K gibt es zusätzlich ein <, sodass die "Ordnungsxiome" erfüllt sind:
1. Für jedes x gilt genau eine der folgenden Aussagen
x < 0
x = 0
0 < x
2. Wenn a < b, dann gilt a + x < b + x für jedes x.
3. Wenn a < b, dann gilt a * x < b * x für jedes x mit 0 < x.
Wenn nur von einem "Körper" (also ohne das Attribut "angeordnet") die Rede ist, dann muss das nicht heißen, dass es grundsätzlich keine Ordnung gibt, sodass die Ordnungsaxiome erfüllt sind. Aber nicht jeder Körper lässt sich anordnen.
Ein endlicher Körper z. B. lässt sich nicht anordnen. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:23: |
|
Wichtigster Unterschied:
In einem Körper gibt es zwei Rechenarten, man nennt sie meistens Addition und Multiplikation. In einer Gruppe gibt es nur eine Rechenart.
Im Grunde ist ein Körper eine Menge mit zwei verschiedenen Gruppeneigenschaften. Ein Körper ist eine Gruppe bzgl. der Addition und eine Gruppe bzgl. der Multiplikation.
Bei den Körpern gibt es dann noch die wichtige Unterscheidung der Ordnung. Es gibt Körper, in denen kann man für zwei beliebige Elemente entscheiden, welches von beiden kleiner ist.
Solche Körper nennt man "angeordnet".
Es gibt aber auch Körper, in denen ist zwar das Rechnen mit Addition und Multiplikation möglich, aber man kann die Elemente nicht vergleichen.
Solche Körper entsprechen erstmal nicht unserer Erfahrungswelt. Die Beispiele, die dafür gegeben werden, erscheinen "künstlich". Aber es gibt diese Körper eben.
Die Ordung in dem Körper wird durch eine Ordungsrelation beschrieben. Man kann Ornungsrelationen auch für die Elemente einer Gruppe definieren.
Daß man von "angeordneten Körpern", aber nicht von "angeordneten Gruppen" spricht, hat sicher damit zu tun, daß angeordnete Körper wichtiger sind. R Q und C sind ja angeordnete Körper.
Gruß
Matroid |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:59: |
|
hi
ich weiss zwar was ein koerper ist,.. aber nicht ein gruppe..
eins ist sicher .. C ist kein körper denn die menge C ist nicht geordnet.
oder ist das falsch? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 21:26: |
|
Hi Matroid, Peter!
Ein Körper mit der Multiplikation ist keine Gruppe, da 0 kein Inverses besitzt. Allerdings ist für einen Körper K die Menge K \ {0} zusammen mit der Multiplikation eine Gruppe.
Angeorndete Körper sind spezielle Körper (Körper mit einer Zusatzeigenschaft).
C ist zwar ein Körper, lässt sich aber nicht anordnen. |
|
