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Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:38: | 
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Hi,
folgende Aufgabe ist gegeben:
"Lassen sich alle Vektoren des Raumes als Linearkombination aus den Vektoren u=(1,1,2)^T,v=(2,0,2)^T und w=(3,2,5)^T darstellen?"
Nun hab ich in nem schlauen Buch gelesen "Jedes System von drei linear unabh. Vektoren kann als Basissaystem im Raum dienen", womit ich dann alle anderen Vektoren darstellen kann...Nun hab ich die Determinante berechnet und festgestellt, dass dies Null ist, dass System also nicht linear abhängig...D.h. also die Vektoren lassen sich nicht darstellen...Ist das nun korrekt so? Hab das nur per Buch berechnet und eigentlich noch nicht so recht kapiert warum ich nu auf Grundlage dieser drei Vektoren, wenn Sie lin. unabh. wären jeden anderen Vektor darstellen könnte...Wäre also nicht schlecht, wenn mir diesbezüglich jemand weiterhilft...
Die weitere Frage war, ob sich dann aus den drei Vektoren die Vektoren a=(0,2,2)^T oder b=(2,2,1)^T darstellen lassen...Das dürfte ja dann auch nicht gehen...
Und noch ne Frage...:-)
Da war noch ne Aufgabe
A(-1,-1),B(3,0),C(3,3),D(-1,2) seien die Eckpkt. eines Vierecks in der Ebene...Man bestimme die Seitenvektoren AB,BC,CD,DA, hab ich auch korrekt berechnet, z.B. AB=(4,-1)^T, ich dachte aber immer das sind die Koordinaten vom Punkt A zum Punkt B, also -1 und 3 (da x=3 und y=-1) bei der Strecke, nun meinte aber jemand, dass der Vektor parallel zu dieser Strecke ist...Man kann also die genaue Position nicht angeben...Stmmt das?
Besten Dank |
Nenus (tailstrike2002)
Neues Mitglied
Benutzername: tailstrike2002
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 21:25: |
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Hi Alex!
1. Zwischen diesen drei Vektoren besteht tatsächlich eine lineare Abhängigkeit
2. Es lassen sich somit nicht (!) alle Vektoren des Raumes R3 darstellen
3. Zwei Vektoren sind jedoch weiterhin linear unabhängig, sie spannen eine Ebene in dem Raum auf
4. Der dritte Vektor (der linear abhängige) liegt in dieser Ebene
5. Du hast also kein Basissystem des gesammten Raums R3
6. Drei (!) linear unabhängige Vektoren sind immer ein Basissystem des Raums R3, da sie (linear kombiniert) jeden Punkt in dem Raum darstellen können
7. Mit dem Gaußalgorithmus läßt sich 6. leicht nachprüfen
"Die weitere Frage war, ob sich dann aus den drei Vektoren die Vektoren a=(0,2,2)^T oder b=(2,2,1)^T darstellen lassen...Das dürfte ja dann auch nicht gehen..."
Genau das ist falsch, da
8. einer dieser beiden Vektoren in der Ebene liegen kann und von den zwei linear unahängigen Vektoren dargestellt werden könnte
9. a=(0,2,2)^T liegt in genau dieser Ebene, b=(2,2,1)^T kann jedoch nicht dargestellt werden, dieser Punkt liegt außerhalb (der Ebene)
10. Auch dies ist durch Gauß einfach nachzuprüfen
Prob 2:
AB=DC=(4,1) und BC=AD=(0,3) sind die Seitenvektoren, jedoch nicht die Koordinaten der Eckpunkte
Greetings, Tailstrike |
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