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sven (sven23)
Neues Mitglied
Benutzername: sven23
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 19:46: | 
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Hi ihr Cracks,
ich habe da zwei böse Aufgaben, die ziemlich tüftelig sind:
1) Es sei (a_n)n>=0 eine monoton fallende Nullfolge positiver reeller Zahlen, für die Summe a_n divergiert. Bestimmen Sie alle Z aus C, für welche Summe a_n*z^n konvergiert. Wie groß ist der Konvergenzradius?
2)a) Es sei G := C{i,-i}. Zeigen Sie, daß die Funktion f:G->C, f(z):=1/(1+z^2) (z aus G) analytisch ist. Welchen Konvergenzradius hat die Potenzreihenentw. von f zum Entw.zentrum z_0 aus G?
b) Entwickeln Sie (exp(z) + 2*exp(-z/2)*cos(sqrt(3)*z/2))/3 in z_0 = 0 in eine Potenzreihe. Wie groß ist der Konvergenzradius?
Wer kann mir da weiterhelfen? |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 568
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 09:11: |
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sven,
Hinweise:
1) S¥ n=0anzn konvergiert sicher in
jedem Kreis |z|£ r mit r<1, denn dort ist.
|an+1/an| |z| £r
(Quotientenkriterium). Ferner konvergiert die Reihe
noch für z=-1(Leibnizkriterium), aber sie divergiert
in z=1.
2) f(z) = S¥ n=0(-1)nz2n , |z| < 1
(Geometrische Reihe).
3) Benutzt man 2 cos(w)= eiw+e-iw,
so wird (rechne nach !)
f(z)=
(1/3)S¥ n=0(1+zn+z-n)*zn/n!
mit z := (-1+i*sqrt(3))/2
mfG Orion
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sven (sven23)
Neues Mitglied
Benutzername: sven23
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 21:26: |
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Hi Orion,
danke für Deine Hinweise, die werden mir bestimmt weiterhelfen.
mfG Sven |
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