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Sabine (hope17de)
Neues Mitglied
Benutzername: hope17de
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 18:29: | 
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Hallo!
Ich kann mit der folgenden Aufgabe überhaupt nichts anfangen:
Sei f eine lineare Abbildung eines reellen Vektorraums in sich mit Eigenwert k.
a) Sei f invertierbar. Bestimmen Sie einen Eigenwert von f-1.
b) Bestimmen sie einen Eigenwert von fn+1 fn für n Element N.
c) Sei f eine lineare Abbildung des R3 in sich, so dass f3 = f2, nicht aber f2 = f gilt. Ist f diagonalisierbar?
d) Geben sie ein Beispiel für f aus c) an.
Kann mir jemand helfen?
Danke,
Sabine |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 632
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 02:09: |
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a) Sei x Eigenvektor zum Eigenwert k. Dann gilt
x=f-1(f(x))=f-1(kx)=kf-1(x)
Da f invertierbar ist, ist k¹0 und somit f-1(x)=k-1x
b)kn ist Eigenwert von fn. Beweis durch Induktion.
c) Wegen f³=f² gilt für jeden Eigenwert k von f die Gleichung k3=k2 folglich ist k=1 oder k=0. Wäre f diagonalisierbar, dann würde es einen Basis {a1,a2,a3} geben, für die f(ai)=ai oder f(ai)=0 gilt.
Damit wäre aber automatisch auch f²=f, also ist f nicht diagonalisierbar.
d) f(x,y,z)=(0,x,0) oder auch f(x,y,z)=(z,z,0)
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