| Autor |
Beitrag |
    
Christian Hübner (green17y)
Neues Mitglied
Benutzername: green17y
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 20:58: | 
|
Hallo!
Die Folge x(n) sei die Summe (k=0 bis n) von 1/k!
Zu zeigen ist, dass x(n) für lim n -> unendlich gegen den Wert e strebt!
Meine Frage: Wie geht das?
Danke
Gruß
Christian
(Beitrag nachträglich am 25., November. 2002 von Green17y editiert) |
Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 16:10: |
|
Hi Christian!
Zu zeigen:
1) sum(k=0..n) 1/k! ist monoton.
2) sum(k=0..n) 1/k! ist beschränkt.
=> lim(n->inf) sum(k=0..n) 1/k! existiert, das Ergebnis nennen wir e.
Beweis:
1) sum(k=0..n+1) 1/k! = sum(k=0..n) 1/k! + 1/(n+1)! > sum(k=0..n) 1/k!,
da 1/(n+1)! > 0 für alle n aus IN.
2) 0 < sum(k=0..n) 1/k! < 1 + sum(k=0..n) 1/2^k, (da
Lemma: 2^k < (k+1)! für k > 2.
Beweis: k=3: 2^3 < 4! <=> 8 < 24 [w]
2^(k+1) < (k+2)! ist noch zu zeigen.
Da (k+1)! * 2 < (k+2)! <=> 2 < k+2 <=> k > 0 [w], folgt unmittelbar
die Behauptung.)
Da sum(k=0..inf) 1/2^k = 2
=> 0 < sum(k=0..inf) 1/k! < 3
In obigem Beweis haben wir die geometrische Reihe mit "q=1/2"
als Majorante benutzt, wobei als Minorante trivialerweise
0 benutzt werden kann.
Gruß,
Xell |
Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 23:59: |
|
Ist der Beweis klar, Christian? |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 297
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 04:53: |
|
Hi,
Hab ich da was verpasst?
Aber es war nit gefragt, zu zeigen ob die Reihe konvergent is, sondern wie man zeigt, welchen Wert die Reihe f. n -> +Inf hat;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 204
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 14:10: |
|
Mein Tipp:
Reihenentwicklung der e-Funktion!
Gruß N. |
Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 14:22: |
|
Der Wert der Reihe ist e. Wobei e=1/0! + 1/1! + 1/2! + ...ad inf
Oder hab ich jetzt was verpasst? e ist doch irrational,
weshalb man höchstens ne Näherung dafür angeben kann,
oder eben eine unendliche Reihe.
Wenn mir was entgangen sein sollte, interessiert mich das
natürlich sehr, also warte ich hier auf eine bessere
Lösung.
Gruß,
Xell |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 733
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 14:41: |
|
Die Frage ist doch hier, wie e noch definiert ist, sonst hätte ich das genauso gemacht wie Xell und den Grenzwert einfach e genannt. Bleibt einem ja nichts anderes übrig ohne andere Definition. Z.B. e=lim(n->oo)(1+1/n)^n oder so.
Christian müsste also am besten nochmal sagen, was genau er haben will.
MfG
C. Schmidt |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 299
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 15:59: |
|
Hi ihr wissende,
wie zeigt man, daß diese Reihe e ergibt?
daß die e ergibt, weiß ich => steht ja im Bronstein so drin; nur warum ist das e, wenn man davon absieht, daß e auch so definiert ist, wie Christian Schmitt es gerade gezeigt hat?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 736
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 16:37: |
|
Hi Walter
Das macht man normalerweise andersherum. Du betrachtest halt die oben stehende Reihe, zeigst dann wie Xell, dass sie konvergiert. Den Grenzwert nennst du e.(Definition)
Dann weist du zum Beispiel noch nach, dass die Reihe mit x^k im zähler statt 1 gegen e^x konvergiert und zeigst dann damit, dass zum Beispiel die Ableitung wieder gleich der Ausgangsfunktion ist und die anderen Regeln. Man muss ja irgendwann einfach mal e definieren, sonst kann man ja nicht wissen, was e ist. Dann kannst du auch noch andere Definitionen suchen und musst dann überprüfen ob sie gleichwertig sind.
MfG
C. Schmidt |
