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Beitrag |
    
jana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 21:10: | 
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hallo an alle!
hat jemand eine ahnung wie ich den satz von archimedes:
ist einem parabelsegment ein maximales dreieck mit gleicher höhe und grundlinie eingeschrieben, dann verhalten sich die flächen zueinander wie 4:3
beweisen kann?
es müsste irgendwie mit hilfe des exhaustionsverfahren gehen.
mit hilfe der integralrechnung ist es kein problem - aber die kannte archimedes ja noch nicht 
vielleicht hat jemand eine idee?
liebe grüße
jana |
Kirk (kirk)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 21:56: |
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Exhaustionsmethode ist das richtige Stichwort. Ich versuchs mal in Worten zu erklären:
Stelle die Parabel auf den Kopf und zeichne das Dreieck ein. Auf 1/4 bzw. 3/4 der Grundseite zeichne Senkrechten nach oben. Verbinde Schnittpunkte der Senkrechten mit Parabel mit den nächstliegenden Ecken des Dreiecks. So hast du die Approximation verbessert durch Anfügen zweier kleinerer Dreiecke. (Für die Rechnung ist es besser, sie als 4 Dreiecke zu betrachten. Alle haben den gleichen Flächeninhalt.)
Im nächsten Schritt werden 4 kleine Dreiecke angefügt, dann 8 usw...
Hoffe, es ist verständlich
Kirk
PS: Kann mir jemand sagen, wie ich hier eine Grafik einfügen kann? |
jana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 06:48: |
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hallo kirk!
vielen dank - kanns mir vorstellen. habs dann auch probiert - und bin draufgekommen dass sich die flächen des jeweiligen schritts zum vorherigen wie 1:4 verhalten. beim geraden parabelsegment kein problem zu beweisen - nur wie beweis ich es beim schiefen parabelsegment???
ganz ne blöde frage: aber angenommen ich hab ein schiefes parabelsegment und hab das erste dreieck eingezeichnet - teilt mir die höhe (parallel zur parabelachse - teilt die grundkante c in zwei gleiche strecken) das parabelsegment in zwei flächengleiche dreiecke??? und kann ich davon ausgehen dass die nächsten zwei dreiecke über der seite a, und die zwei neuen dreiecke über der seitenkante b den gleichen inhalt haben??? (beweis?)
hoffe ich hab dich nicht zu sehr verwirrt
leider weiß ich nicht wie man eine graphik einfügt, sorry!
liebe grüße
jana |
Kirk (kirk)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 17:45: |
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Bisschen verwirrt bin ich schon...
Ich bin von folgender Situation ausgegangen:
Parabel nach oben geöffnet. Gerade parallel zur x-Achse. Gerade und Parabel schließen das Parabelsegment ein.
Du redest jetzt von einem schiefen Parabelsegment, d.h. die Gerade ist jetzt nicht parallel zur x-Achse, oder?
Wenn ich den Ursprung in den Scheitel der Parabel lege, entspricht deine Höhe der y-Achse. Die teilt das Dreieck nicht in flächengleiche Teile (da die Dreiecke eine Seite gemeinsam haben, die entsprechenden Höhen aber verschieden sind.)
Die neuen Dreiecke über einer Seite haben denselben Inhalt (da wieder eine Seite gemeinsam und die Höhen gleich sind.)
Grüße,
Kirk
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