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Samson
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 09:40: | 
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Hallo
Ich soll die folgenden beiden Funktionen in Potenzreihen entwickeln ( am besten ohne Taylor,und lieber mit Hilfe von bekannten Potnzreihen)
a) f(x)= 1/x^2 für x ungleich 0 und x_o= 2
b) g(x)= log x, x > 0, x_o = e
(x_o Entwicklungspunkt)
Wie kann ich auch noch den Konvergenzradius herausbekommen?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Samson
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Samson
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 22:38: |
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Bitte helft mir!!!!
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 225
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 11:00: |
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Samson :
Vorschlag :
1/x^2 = - (d/dx)(1/x) .
Nun ist x = 2 + (x-2) = 2*[1 + (x-2)/2]
und
1/[1+(x-2)/2] =
sum[k=0...oo](-1)^k*2^(-k)*(x-2)^k
(Geometrische Reihe , abs. konvergent für
|(x-2)/2| < 1 <==> 0 < x < 4.
Differenziere (erlaubterweise) gliedweise
nach x.
Ebenso :
Entwickle 1/[e + (x-e)] = (1/e)*[1 + (x-e)/e]
in eine geometrische Reihe.
Wegen (d/dx)ln(x) = 1/x hat man obige Reihe
noch nach x gliedweise zu integrieren.
have fun
mfg
Orion
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Samson
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 10:26: |
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Danke Orion für deine Antwort.
Ich hab jetzt fast alles verstanden, bis auf eine Sache.
Du schreibst ja, dass man erlaubterweise differenzieren darf, dass geht doch nur, wenn die Reihe und die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergent sind, oder schmeiße ich hier was durcheinander?
Ich hatte aber einmal eine alte Übungsaufgabe, in der man zeigen mußte, dass die geometrische Reihe auf [0,1[ nicht gleichmäßig konvergent ist.
Darf ich hier dann trotzdem gliedweise ableiten?
Gruß Samson |
Klaus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 12:52: |
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und wo hast du denn xo immer eingebracht?Das ist doch der Entwicklungspunkt? |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 233
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 17:07: |
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Samson :
Ich meine, erlaubt ist zunächst mal alles,
was uns der Lösung einer Aufgabe
näher bringt (Heuristik !). Natürlich muss man schlussendlich beweisen, dass das
Resultat korrekt ist. Dazu wäre bei deinen
Beispielen jeweils noch der Konvergenzbereich der erhaltenen Reihe zu bestimmen, was aber kein Problem sein
sollte.
Bei der Gelegenheit will ich noch auf eine
Variante hinweisen: Wir benutzten ja die
geometrische Reihe
sum[k=0...oo]z^k = 1/(1-z)
mit z = - (x-2)/2.
Multipliziert man diese Reihe formal (d.h. im
Sinne des Cauchy-Produktes) mit sich
selbst, so entsteht
sum[k=0...oo](k+1)z^k = 1/(1-z)^2
deren Konvergenzradius du leicht selbst
herausfindest. So kommst du auch ohne
gliedweise Differentiation zum Ziel.
mfg
Orion
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Samson
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 20:14: |
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Vielen Dank Orion für deine Antwort, du hast mir sehr geholfen.
Samson |
Kasimir
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 20:07: |
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An Orion
Wenn ich b) in eine Potenzreihe entwickle, indem ich d/dx log x betrachte, muß ich dann nicht, wenn ich später integriere, noch zeigen dass es wirklich die Reihe von log x im Entwicklungspunkt e ist, schließlich können sich beide Reihen noch um eine Konstante unterscheiden, oder?
Kasimir |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 240
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 09:20: |
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Kasimir :
Hier wird im Wesentlichen nur benutzt,
dass
log(1+x) = int[0...x](1+t)^(-1)dt.
Die Frage nach einer Integrationskonstanten
stellt sich nicht.
mfg
Orion |
