| Autor |
Beitrag |
    
Shark 316
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 19:11: | 
|
He!
Die gestrige Aufgabe hat wunderbar geklappt, aber eine Teilaufgabe krieg ich irgendwie nicht hin!
Beweise die explizite Darstellung!
a(1):= 0, a(2):=1, a(n)= 0,5[a(n-1) +a(n-2)]
expl. a(n)= 2/3(1-(-1/2)^n-1) |
A.K. (akka)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 09:00: |
|
Hallo Shark
ich würde es mit vollst. Induktion beweisen.
Ind. Anfang:
Für n=1 gilt: a1=(2/3)(1-(-1/2)0)=(2/3)(1-1)=0 stimmt.
Ind. Vorauss.:
Es gelte an=(2/3)(1-(-1/2)n-1)
Ind. Schluß: n->n+1
Beh. an+1=(2/3)(1-(-1/2)n)
Bew.:
an+1=(1/2)(an+an-1)
=(1/2)[(2/3)(1-(-1/2)n-1)+(2/3)(1-(-1/2)n-2)]
=(1/3)[1-(-1/2)n-1+1-(-1/2)n-2]
=(1/3)[2-[(-1/2)n/(-1/2)]-[(-1/2)n/(-1/2)²]]
=(1/3)[2+2(-1/2)n-4(-1/2)n]
=(1/3)[2-2(-1/2)n]
=(2/3)[1-(-1/2)n]
Mfg K. |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 15:04: |
|
Hallo K.,
kleine Ergänzung:
Du mußt auch a(2) nachrechen. Sonst definier ich bei der rekursiven Folge einfach a(2):=10^7 und nix stimmt mehr, dein Beweis jedoch schon !
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 15:14: |
|
Das Problem ist dann, daß bei meiner rek. Definition (a(1):=0; a(2):=10^7, a(n)= 0,5[a(n-1) +a(n-2)] ) die Induktionsvoraussetzung für n=2 gar nicht mehr gegeben ist, der Induktionsbeweis ( der dann falsch werden würde wegen falscher Induktionsvoraussetzung ) würde jedoch genauso verlaufen...Denn die explizite Darstellung für n=2 stimmt dann ja gar nicht mehr. Hoffe, daß das klar ist. Shark kann das natürlich auch gerne selber nachrechnen.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
A.K. (akka)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 16:16: |
|
Hallo Stevenerkel
danke für den Hinweis.
Hast natürlich recht, habe ich schlicht vergessen.
Aber ich denke, das kann Shark wirklich alleine schaffen.
Mfg K. |
