Autor |
Beitrag |
Benjamin
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 16:57: |
|
Beweise die Umfanggleichung des Kreises mit Hilfe der Bogenlänge. Hinweis:r²=y²+x² (diesen Hinweis im Beweis verwenden) |
Xell
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 17:59: |
|
Also es gilt für die Bogenlänge B die Formel: B = ò-r r Ö1+(f'(x))² * dx mit f(x) = Ör²-x² gilt also B = ò-r r Ö1+((Ör²-x²)')² * dx <=> B = ò-r r Ö1-2x/Ör²-x² * dx mit x = r * sin(z) <=> z = arcsin(x/r) => dz/dx = 1/(r*Ö1-(x/r)²) => dx = dz * r * Ö1-(x/r)² => B = ò-r r Ö1-2r*sin(z)/Ör²-r²*sin²(z) * r * Ö1-(x/r)² * dz Kommst du damit weiter? mfG |
Xell
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:01: |
|
Sollte eigentlich klar sein: Das Integral in den Grenzen beschreibt -r und r beschreibt nur den umfang eines Halbkreises, also nicht wundern, wenn p*r rauskommt! mfG |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:08: |
|
Hi Wir leiten die Kreisgleichung x^2 + y^2 = r^2 nach x ab und erhalten: 2 x +2 y y' = 0, also y' = dy / dx = - x / y oder dy = - x / y * dx Nun berechnen wir das Quadrat des Bogenelementes ds. ( ds ) ^2 = (dx) ^2 + ( dy ) ^2 = :[1 + x^2 / y^2 } (dx)^2 also (ds)^2 )= [ (x^2 + y^2)/y^2 ] * (dx)^2 = r^2 / y^2 * ( dx )^2 daraus ds = r / y * dx ,wobei y = wurzel (r^2 - x^2) Um die Länge B eines Viertelkreisbogens zu bekommen. integrieren wir ds in den Grenzen x = 0 bis x = r B = int [ {r / wurzel(r^2 - x^2)} * dx] in den genannten Grenzen B = int [ {1 / wurzel (1 - x^2/r^2)}* dx ] = r * arc sin (x/r) in den genannten Grenzen. Wir erhalten B = ½ * Pi * r ,wie es sein muss. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Benjamin
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:12: |
|
Ich Danke euch!!! Das ging ja echt schnell. Krieg jetzt bestimmt die bessere Note auf meinem HJ-Zeugnis! Dank nochmal! |
|