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Beitrag |
    
Katharina Stefanie (Idaisy)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 11:00: | 
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Hallo,
hier hab ich ein Problem:
die Funktion: 14x^4-135x^3+278x^2+14 =0 ist bekannt.
wir sollen zeigen, dass x =7 eine Lösung der Gl. ist.
dann weitere Lösungen finden und sagen wieviele Lösungen es gibt.
bitte helft mir
Dankeschön
Katharina |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 13:00: |
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Hallo Katharina,
bist du sicher, dass x=7 eine Lösung der Gleichung sein soll?
wenn ja, stimmt etwas an der Gleichung nicht.
Oder sollst du vielleicht überprüfen, ob x=7 eine Lösung ist?
x=7 ist keine Lösung der Gleichung 14x4-135x³+278x²+14=0. Kann man ganz leicht durch Einsetzen feststellen.
mfg Lerny |
Katharina Stefanie (Idaisy)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 13:37: |
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HI Lerny,
da hab ich mich vertippt:
die Gleichung lautet:
14x^4 - 135x^3+ 278x^2+ 135x +14 =0
hab die 135x vergessen!!
Dankeschonmal
Katharina
wäre nett wenn du mir jetzt doch noch helfen könntest wie man die weiteren Lösungen findet! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 18:07: |
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Also Katharina, weiter geht's
14x4-135x³+278x²-135x+14=0
Da wir nun wissen, dass x=7 eine Nullstelle ist, können wir eine Polynomdivision durchführen:
(14x4-135x³+278x²-135x+14): (x-7)=14x³-37x²+19x-2
-(14x4-98x³)
----------------
..........-37x³+278x²
........-(-37x³+259x²)
---------------------
.................19x²-135x
...............-(19x²-133x)
--------------------------
......................-2x+14
....................-(-2x+14)
-----------------------------
...........................0
(14x4-135x³+278x²-135x+14)=(x-7)*(14x³-37x²+19x-2)
14x³-37x²+19x-2=0
durch Probieren findest du die nächste Nullstelle x=2; also nochmals Polynomdivision mit 2
(14x³-37x²+19x-2) : (x-2)=14x²+9x+1
-(14x³-28x²)
------------
.......-9x²+19x
.....-(-9x²+18x)
---------------
...........x-2
.........-(x-2)
---------------
.............0
14x²+9x+1=0
x²+9/14x+1/14=0
weiter mit p-a-Formel
x1,2=-9/28+-Ö(81/748 -1/14)
=-9/28+-Ö(25/748)
=-9/28+-5/28
x1=-4/28=-1/7
x2=-14/28=-1/2
Es gibt also 4 Nullstellen.
mfg Lerny |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 16:50: |
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Hallo Lerny,
ich muß dir leider mitteilen, das dein Ergebnis leider Inkorrekt ist.Genauer gesagt sind 2 Nullstellen Falsch! Es muß nähmlich 1/7 und 1/2 heißen!. Es ist also mal wieder irgendwon ein Vorzeichenfehler aufgetreten.Außerdem haßt du die Gleichung ein wenig umständlich gelöst. Hier mein Vorschlag:
14x4-135x³+278x²-135x+14=0
Das ist ein Spezialfall einer biquadratischen Gleichung(Gleichung 4. Grades).hier handelt es sich um eine symetrische Gleichung 4. Grades:
Eine Gleichung 4. Grades heißt symetrisch, wenn gilt:
ax4+bx³+cx²+bx+a=0
Diese Gleichung löst man am besten folgenderma9en:
1. Durch x² dividieren.
14x4-135x³+278x²-135x+14=0 |:x²
14x²-135x+278-135/x+14/x²=0
2. Man bringt sie durch kleine Umformungen auf die Form:
14*(x²+1/x²)-135*(x+1/x)+278=0
Algemein:
a*(x²+1/x²)+b*(x+1/x)+c=0
3. Man substituiert:
x+1/x=y
(x+1/x)²=x²+2+1/x²=y²
=>
(x²+1/x²)=y²-2
Wir erhalten also eineb in y quadratische Gleichung:
a*(y²-2)+b*y+c=0
ay²+by+(c-2a)=0
In Unseren Beispiel lautet diese Gleichung:
14y²-135y+250=0
Wenn du sie Löst erhälst du die lösungen:
y1=7,14285714285714
y2=2,5
Durch die Rücksubstitution erhälst du 21 weitere in x quadratische lösungen, die wiefolgt aussehen:
x²-y1*x+1=0
x²-y2*x+1=0
Sie enthalten die 4 lösungen für x:
Unsere x-Gleichungenb sehen also so aus:
x²-7,14285714285714*x+1=0
x1=7
x2=1/7
x²-2,5*x+1=0
x3=2
x4=1/2
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Das sind die korrekten Lösungen!!!
Gruß N. |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 12:44: |
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Hi Niels,
mit dem Vorzeichenfehler haste recht. Sorry!!
Aber was den Lösungsweg betrifft, da ist dein Weg sicher eleganter. Stellt sich nur die Frage, welcher Weg für jemanden mit Problemen in Mathematik einfacher zu durchschauen ist.
mfg Lerny |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 17:33: |
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Hi Lerny,
Schön das du den Fehler einsiehst.
Zum "Rechenweg":
Mein Rechenweg ist natürlich eleganterund-wie ich finde-besser.Warum?
1)
Ich löse lieber 3 quadratische Gleichungen, als 2 dämlichen und nicht ganz risikolosen Polynomdivisionen durch zu führen.Das sollten auch die Leute einsehen können, die Probleme damit haben.Schließlich ist es einfacher stupide einzusetzen und nach Formel auszu rechnen als große geistige Anstrengungen zu betätigen -mit Nullstelle raten und Polynomdivision durchzuführen.-
Das Verfahren hat nur ein Hacken:
Wenn die Lösungen y1 und y2 komplex sind, dann hat man sich ein kleines aber feines Problemchen eingehandelt.Natürlich gäbe es da auch abhilfe aber....unwichtig.
Ich finde nur, wenn man schon ein Spezialfall hat, dann sollte man ihn auch speziell behandeln.
Gruß N. |
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