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Timo (Derknuff)
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| Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 14:48: |
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Hallo! 1. Ich bitte um Hilfe bei der Schnittpunkt-Berechnung zweier Kreise: k1: [x - (1;1)]^2 = 4 k2: [x - (4;2)]^2 = 9 Wie man die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen berechnet, ist mir klar. Doch wie verfaehrt man bei zwei Kreisen (Kugeln)? ### 2. (Wie) Kann man anschaulich erklaeren, dass die Differenz der Kreisgleichungen eine Gleichung fuer die Verbindungsgerade der Schnittpunkte ist? ### 3. Problem: Bestimme die Zahl c so, dass die Gerade g: 3*x1 - x2 = c den Kreis k: x1^2 + x2^2 = 25 beruehrt. ### das wars, viele Gruesse und danke im voraus! Timo |
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Friedrich Laher (Friedrichlaher)
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| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 14:07: |
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bitte 2) andere Lösen 1) (k1).....: (x-1)² + (y-1)² = 4 (k2).....: (x-4)² + (y-2)² = 9 ----------------------------- (k1)-(k2): x(-2+8)+y(-2+4)+1-16+1-4=-5 6x - 2y = 13; y = (6x-13)/2 in (k1) oder (k2) einsetzen, Quadratische Gl. Lösen ->x ->y 3)n, Die Normale auf g, durch (0 | 0) muss g im Abstand 5 von (0 | 0) schneiden g: x2 = 3*x1 - c n: x2 = -x1/3 Schnitt n,g: 3*x1 - c = -x1/3; 10*x1/3 = c; x1 = 3*c/10 (3*c/10)² + [-(3*c/10)/3]² = 25 10c²/100 = 25 c = 5*Wurzel(10) |
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H.R.Moser,megamath
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| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 14:25: |
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Hi Timo Zu Punkt 3 Ich bezeichne die Koordinaten mit x , y statt mit x1 , x2. Erster Lösungsweg : Diskriminantemethode Aus der Geradegleichung berechnen wir y = 3x – c und setzen den Term in die Kreisgleichung x^2 + y^2 = 25 ein; es kommt: x^2 +(3x – c)^2 = 25 , Klammern gelöst und geordnet: 10 * x^2 – 6 * c x + c^2 –25 = 0. Diese quadratische Gleichung liefert als Lösungen die x-Werte der beiden Schnittpunkte von g mit k Damit g zur Tangente wird, fordern wir, dass diese beiden Lösungen zusammenfallen. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante D der Gleichung null ist. Wir ermitteln D mit der bekannten Formel D = B ^ 2 – 4 A C, wobei A = 10 , B = - 6 c , C = c^2 – 25 gilt.; mithin: D = 36 c^2 – 40 c^2 + 1000 = 0 , daraus entspringt eine quadratische Gleichung für c: c^2 = 250 , also c1,2 = (+ -) 5*wurzel(10) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Zweite Methode Schneide den Kreis k mit einer zu g senkrechten Durchmessergeraden d in den Punkten S1 , S2. Die gesuchten Tangenten t gehen durch S1 und S2, parallel zu g. Steigung m1 von g: m1 = 3 ; daraus Steigung m2 von t: m2 = - 1 / m1 = - 1 / 3 Gleichung von d: y = - 1/3 * x + q Da d durch den Mittelpunkt O(0/0) von k geht, ist q =0, somit kommt y = - 1/3*x als Gleichung von d, eingesetzt in x ^ 2 + y ^ 2 = 25 gibt : x ^ 2 +( - 1 / 3 x ) ^ 2 = 25 oder 10 * x^2 = 225, also x = (+,-) 15 / wurzel(10) , dazu y = (- ,+) 5 / wurzel(10) Diese Werte setzen wir in die Gleichung von t ein, welche lautet: 3 * x – y = c . Wir erhalten für c die mit der ersten Methode berechneten zwei Werte, nämlich c1,2 = (+ -) 5*wurzel(10); mache die Probe! Zu Punkt 2 Die beiden Kreisgleichungen seien K1: x^2 + y^2 +A1x + B1y + C1 = 0 K2: x^2 + y^2 +A2x + B2y + C2 = 0 Durch Subtraktion entsteht die lineare Gleichung L: (A1-A2) x + (B1-B2)y +C1-C2 = 0 , welche jedenfalls eine Gerade p darstellt. Nebenbei bemerkt heisst diese Gerade „Potenzgerade“ ; sie hat per se bestimmte geometrische Eigenschaften bezüglich der beiden Kreise. Unter anderem diese , dass p durch die Schnittpunkte der beiden Kreise geht. Wenn also, wie in Punkt 1 verlangt, die Schnittpunkte zweier Kreise bestimmt werden sollen ,wird man p ermitteln und einen der beiden Kreise K1 oder K2 mit p schneiden, was die Rechnung vereinfacht. Knüpfen wir uns einen solchen Schnittpunkt S1 vor ! S1 liegt auf K1,daher erfüllen die Koordinaten von S1 die Kreisgleichung (I) S1 liegt auf K2,daher erfüllen die Koordinaten von S1 die Kreisgleichung (II) Die Koordinaten von S1 erfüllen aber auch die aus (I) und (II) entstandene Gleichung L, d.h. S1 liegt eo ipso auf der Geraden p. Knüpfen wir uns den zweiten Schnittpunkt S2 vor S2 liegt auf K1,daher erfüllen die Koordinaten von S2 die Kreisgleichung (I) S2 liegt auf K2,daher erfüllen die Koordinaten von S2 die Kreisgleichung (II) Die Koordinaten von S2 erfüllen aber auch die aus (I) und (II) entstandene Gleichung L, d.h. S2 liegt eo ipso auf der Geraden p. Mit anderen Worten: p ist die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte S1 und S2. Es gilt der Satz Die Potenzgerade p zweier sich schneidenden Kreise ist ihre Schnittsekante. Mitfreundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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