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Christoph
| Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 18:45: |
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kann mir bitte jemand helfen???!!! Die Aufgabe: fk(x)=x*(1- 1/k *lnx) 1.)Funktion diskutieren 2.)zeigen, daß sich alle Graphen der Schar unabhängig von k in einem Punkt schneiden 3.)lim fk(x) x->0 bestimmen und den Flächeninhalt berechnen, den der Graph von fk mit der x-Achse einschließt 4.) Für welchen Wert k wird dieser Flächeninhalt extremal? |
K.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 21:05: |
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Hallo Christoph fk(x)=x(1-(1/k)*lnx) 1.) Definitionsbereich: {x€R|x>0), da lnx nur für x>0 definiert. Nullstellen: fk(x)=0 <=> x(1-(1/k)lnx)=0 => x=0 oder 1-(1/k)lnx=0 <=> 1=1/k*lnx <=> k=lnx <=> x=ek Ableitungen: fk(x)=x(1-(1/k)lnx)=x-(x/k)lnx fk'(x)=1-[(1/k)lnx+(x/k)*(1/x)] =1-(1/k)lnx+k=1+k-(1/k)lnx fk"(x)=-(1/k)*(1/x)=-1/(kx) fk"'(x)=-(1/k)*(-1/x²)=1/(kx²) Extrema: fk'(x)=0 <=> 1+k-(1/k)lnx=0 <=> (1/k)lnx=1+k |+k <=> lnx=k(1+k) <=> x=ek(1+k) Mit 2. Ableitung auf Min und Max überprüfen: fk"(ek(1+k))=-1/(k*(ek(1+k)) Wegen -1/(k*ek(k+1))>0 für k<0 hat die Funktion für k<0 ein Minimum für x=ek(1+k) Entsprechend hat die Funktion für k>0 bei x=ek(k+1) ein Maximum. Wendestellen: fk"(x)=0 <=> -1/(kx)=0 => keine Wendestellen. 2.)Seien fk1 und fk2 zwei beliebige Kurven der Schar. Sie haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, wenn gilt fk1(x)=fk2(x) <=> x(1-(1/k1)lnx)=x(1-(1/k2)lnx) <=> x(1-(1/k1)lnx)-x(1-(1/k2)lnx)=0 <=> x[1-(1/k1)lnx-1+(1/k2)lnx]=0 => x=0 oder 1-(1/k1)lnx-1+(1/k2)lnx=0 => Die Graphen schneiden sich alle bei x=0 unabhängig von k. 3.) lim (x->0)fk(x)=lim(x->0)[x(1-(1/k)lnx)]=0 A=ò0 ek[x(1-(1/k)lnx)]dx =ò0 ek[x-(x/k)lnx]dx =ò0 ek[x-(1/k)*xlnx]dx =[(x²/2)-(1/k)((x²/2)(lnx-(1/2)))]ek0 =[(x²/2)(1-(1/k)(lnx-(1/2)))]ek0 =|(e2k/2)(1-(1/k)(lnek-(1/2)))| =|(e2k/2)(1-(1/k)(k-(1/2)))| =|(e2k/2)(1-(1-1/2k))| =|(e2k/2)(1/2k)=|e2k/(4k)| 4.) A'(k)=[2e2k*4k-e2k*4]/(16k²)=0 <=> 4k*e2k-4*e2k=0 <=> e2k(4k-4)=0 => 4k-4=0 <=> k=1 Müsste noch mit 2. Ableitung überprüft werden. Mfg K. |
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