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Pia (Jersey127)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 16:34: | 
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Hallo!
Ich hab eien großes Problem. Versuche seit Stunden erfolglos, diese Aufgabe zu lösen: Welches unter allen Rechtecken mit der gleichen Diagonalen d hat den größten Flächeninhalt?
Bitte helft mir! |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 17:31: |
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Also, der Flächeninhalt soll maximal werden.
Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von a und b (Seitenlängen des Rechtecks) ist:
A(a,b)=a*b
Jetzt hast du eine Info, so dass du a mitb oder umgekehrt ausdrücken kannst: nämlich die Länge der Diagonalen d ist eine feste Zahl!
a^2+b^2=d^2 (Pythagoras)
Löse nach a( oder b) auf
a=SQRT(d^2-b^2), die negative Variante kann man hier getrost weglassen, da es um Seitenlängen geht.
Setze in A(a,b) ein:
A(b)=bSQRT(d^2-b^2)
2 Ableitungen (Produkt- und Kettenregel)
A'(b)=SQRT(d^2-b^2)+(b(-2b)/(2SQRT(d^2-b^2)) //gleichnamig machen
A'(b)=[d^2-b^2-b^2]/SQRT(d^2-b^2)
=[d^2-2b^2]/SQRT(d^2-b^2)
A''(b)=[x·(2·b^2 - 3·d^2 )]/[d^2-b^2]^(3/2)
A'(b)=0
[d^2-2b^2]/SQRT(d^2-b^2)=0
d^2-2b^2=0
b^2=d^2/2
b=+-d/SQRT(2)
a= SQRT(d^2-d^2/2)=SQRT(d^2/2)=b
Man müsste jetzt noch b in A'' einsetzen, um nachzuweisen, dass es sich um ein Maximum für A handelt.
Aber hier hat man schon gezeigt, dass a=b, also ist das Rechteck ein Quadrat.
Gruß
Peter |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 17:41: |
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Nachtrag: rechnerisch einfacher wird es es, wenn du A^2 statt A betrachtest, Extremstellen bleiben beim Quadrieren Extremstellen und Maxima bleiben auch Maxima.
B(b)=A^2(b)=b^2(d^2-b^2)=b^2d^2-b^4
B'(b)=2bd^2-4b^3
B''(b)=2d^2-12b^2
B'(b)=0
2bd^2-4b^3=0
2b(d^2-2b^2)=0
b=0 uninteressant, da kein Rechteck mehr
d^2-2b^2=0
b=d/SQRT(2)
B''(b)=2d^2-6d^2<0, also Maximum |
Pia (Jersey127)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 17:20: |
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Peter, du bist ein Schatz. Vielen,vielen Dank. Da wär ich alleine nie drauf gekommen.
Gruß, Pia |
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