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yiu
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 13:44: | 
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hallo
wie berechne ich eigentlich allgemein die Koordinaten der Eckpkt eines tetrader aus? wie geht das am schnellsten? oder wie krieg ich zumindest den dritten Koordinatenpkt. eines gleichseitigen dreiecks?
die aufgabe lautet nämlich bestimme den winkel zwichen einer tetraedereben (ABD) und der anderen Tetraederebene (BCD)? |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 15:22: |
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hi yiu,
die hoehe eines gleichseitigen dreiecks mit kantenlaenge 1 bestimmt man am besten mit pythagoras zu h = sqrt(1^2 + (1/2)^2)
= sqrt(5/4) = sqrt(5)/2.
der vierte punkt des tetraeders befindet sich genau ueber dem mittelpunkt des grunddreiecks.
der mittelpunkt schneidet alle hoehen des dreiecks im verhaeltnis 1:2. (das kann man sich anhand von aehnlichen dreiecken und/oder pythagoras ueberlegen.)
den winkel zwischen den flaechen findet man nun, wenn man das rechtwinklige dreieck mit den punkten: spitze des tetraeders, mittelpunkt der grundflaeche, seitenmittelpunkt einer seite der grundflaeche betrachtet.
seine hypothenuse ist die hoehe des schraeg stehenden dreiecks. seine kurze seite ist 1/3 der hoehe des grunddreiecks.
damit sollte der winkel phi gegeben sein durch
cos(phi) = ankathete/hypothenuse = 1/3
also phi = 70.529°.
hoffentlich habe ich dir damit nicht zu viel ueberlegungen vorweggenommen.
viele gruesse mrsmith. |
yiu
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 23:31: |
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nein, sie haben mir damit nicht zu vieleüberlegungen vorweggenommen, da leider nichts verstehe...
Ich dachte eigentlich eher an konkrete koordinaten, anstatt an längen...
das thema fällt unter analytische geometrie, also habe ich gedacht, manrechnet erst mal die koordinaten aus, stellt eine ebene (ABC) auf, und dann rechnet man mit der hesseschen normalform den winkel zwischen ihr und der Kante AD.
ich habe nicht von vornherein erwähnt, dass man den winkel zw. ABC und der Kante AD ausrechnen soll, da ich für die Winkelberechnung sowieso eine 2.Ebene ausrechnen muß, oder? macht das einen unterschied als wenn ich den Winkel zw. ABC und AD ausrechen?
mein ansatz war,dass ich mir beliebig zwei punkte festlege: A und B. Jetzt fehlen mir nur noch die koordinaten von C. Das muß doch bei einem gleichseitigen dreieck theoritisch ziemlich einfach sein, oder?
vielen dank für ihre bemühungen
yiu |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 10:59: |
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hi yiu,
ich nenne mich zwar mrsmith, was aber nicht heisst, dass ich ein alter sack bin. obwohl: verglichen mit dir bin ich vielleicht doch einer? aber ich fuehle mich nicht so. du kannst also ruhig "du" zu mir sagen.
du moechtest also zu zwei beliebigen punkten A, B den dritten punkt im gleichseitigen dreieck finden.
es sollte dir klar sein, dass das nicht eindeutig moeglich ist. zwei punkte legen zwar eine gerade, aber keine ebene fest, und selbst innerhalb dieser ebene gibt es immer noch zwei punkte, die mit A und B ein gleichseitiges dreieck bilden.
also geht das in dieser allgemeinheit nicht.
wenn ich aber festlege, dass ich in der x-y-ebene bleiben will, und ferner festlege, dass A=(0;0;0) und B=(1;0;0) sein soll, dann kann ich den dritten punkt im gleichseitigen dreieck in positiver y-richtung mit der anleitung bestimmen, die ich in meinem ersten satz gegeben habe. wobei mir da leider ein fehler unterlaufen ist:
die x-koordinate des punktes C muss zwangslaeufig bei 1/2 liegen. der abstand von A muss 1 betragen. ich brauche also einen vektor, der nach pythagoras 1^2 = (1/2)^2 + y^2 erfuellt. also muss
y = sqrt( 1 -(1/2)^2) = sqrt(3)/2 sein.
(ich hatte oben leider das falsche vorzeichen. habe aber was ich da schrieb im weiteren nicht benutzt. sonst waer's mir aufgefallen.)
der dritte punkt im gleichseitigen dreieck zu
A=(0;0;0) und B=(1;0;0)
hat also die koordinaten
C =(1/2; sqrt(3)/2; 0) oder
C' =(1/2; -sqrt(3)/2; 0).
wenn man versucht, den vierten punkt im tetraeder zu diesen drei punkten auszurechnen, wird's schwieriger. also dachte ich, dass es vielleicht besser sei, mit dieser teilungseigenschaft zu argumentieren, weil man dann naemlich zumindestens x- und y-kooridnate des vierten punktes ganz schnell hat, naemlich
D =(1/2; sqrt(3)/6; ??).
du kannst jetzt gerne die z-koordinate von D wieder ueber den satz von pythagoras bestimmen und anschliessend hessesche normalformen aufstellen.
es macht natuerlich einen unterschied, ob der winkel der kante AD zur ebene ABC oder der winkel der ebene ABC zur ebene ABC berechnet wird!
so wie ich es angefangen habe, ist uebrigens ABC die ebene, die durch z=0 bestimmt ist. die flaechennormale ist also (0;0;1).
man braucht nicht eine zweite ebene, um den winkel zwischen einer ebene und einer gerade auszurechnen: die ebene hat eine normale, die gerade hat einen richtungsvektor. den winkel zwischen diesen beiden vektoren berechnet man via skalarproduktbildung (mit geeigneter vorheriger normierung).
hoffentlich habe ich mich jetzt verstaendlicher gemacht. viele gruesse mrsmith. |
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