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Beitrag |
    
Matthias
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 13:55: | 
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1. Gegeben ist die Funktion
g(x) = ln (e^x / ( e^x + 1 ))
mit maximalem Definitionsbereich D(g)
a) Bestimmen Sie D(g) !
b) Wie verhält sich g(x), wenn x gegen die Grenzen des Definitionsbereiches strebt?
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von g !
d) Skizzieren Sie den Graphen G(g) der Funktion g.
Für die Zeichnung: Ursprung in der Blatt mitte, Längeneinheit auf beiden Achsen 1 cm
2. Gegeben ist die Funktion
h(x) = ln ( e^x / ( e^x / (1 – e^x)))
mit maximalem Definitionsbereich D(h). Ihr Graph heißt G(h).
a) Weisen sie nach, dass h die Umkehrfunktion der in Aufgabe 1 definierten Funktion ist.
b) Geben Sie D(f) an und skizzieren Sie den Graphen G(h) in die unter 1d) angelegten Zeichnug.
3. Betrachten sie nun die Funktion
f(x) = 1 / (1 +e^x)
mit maximalem Definitionsbereich D(f).
a) Geben Sie D(f) an.
b) Zeigen Sie, dass f in D(f) echt monoton abnehmend ist.
c) Untersuchen Sie die Bildkurve zu f auf Wendepunkte und Asymptoten.
d) Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente.
e) Skizzieren Sie den Graphen von f aufgrund der bisherigen Ergebnisse in die unter 1d) angelegte Zeichnung.
4. Untersuchen Sie, ob der Grenzwert
lim Int( 0 bis R ) f(x) dx existiert.
R - unendlich
Kann mir jemand helfen? Blicke nicht ganz durch!
Lösungsvorschläge wenn es geht, bitte sehr ausführlich!
Wäre euch sehr dankbar!!!!! |
Joseph D.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 14:21: |
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Hallo Matthias,
Gehört dies zur linearen Algebra? |
Tini (Tini)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 14:32: |
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Hallo Matthias!
1a) Du überlegst als erstes, wie der Definitionsbereich der ln-Funktion ist. Dies ist nämlich R+ (zur Not zeichne Dir mal die ln-Funktion, dann siehst Du es besser). Das heißt, dass in der Klammer nach ln ein Wert unter 0 sein muss, wenn man diesen Wert ausschließen will. Also wäre das dann: e^x/(e^x+1)>0. Die Werte von x, die Du dann erhälst, werden aus R ausgeschlossen. (Verwende bei der Rechnung die Information, dass e^x>0)
1b) Du errechnest hierbei den lim gegen den Definitionsbereich (den Grenzwert, den Du unter a) für x herausgefunden hast). Verwende hier die Information, dass der lim von lnx gegen null -unendlich und der lim von lnx gegen +unendlich +unendlich ist. Außerdem ist der lim von e^x gegen -unendlich 0 und der lim von e^x gegen +unendlich +unendlich (schaue Dir dabei am besten die Graphen an).
1c) Das Monotonie verhalten überprüfst Du mit Hilfe von g'(x). Die Funktion ist streng monoton steigend, wenn g'(x)>0; sie ist monoton fallend, wenn g'(x)<0. Das Problem hierbei sind aber die Extremwerte. Gibt es nämlich z.B. einen Hochpunkt, ist die Funktion bis zum Hochpunkt steigend und ab dem Hochpunkt fallend. Gegebenfalls müsste man auch Extrempunkte prüfen.
1d) Dürfte ja nicht so schwer sein (auch wenn da steht: skizzieren, Du kannst ihn auch ruhig zeichnen)
2a) Die Umkehrfunktion von g(x) errechnest Du, indem Du y=ln(e^x/(e^x+1)) setzt und nach x auflöst. Dann müsstest Du h(x) erhalten (wenn dies wirklich die Umkehrfunktion ist), mit dem Unterschied, dass Du anstatt x y da stehen hast. Die beiden kannst Du dann aber einfach austauschen.
2b) Machst Du genauso, wie 1a)
3a) Für den Definitionsbereich setzt Du den Nenner gleich null. Erhälst Du einen Wert, ist dieser derjenige, der aus dem R herausfällt. (Hinweis: e^x>0)
3b) siehe 1c) Du rechnest f'(x)<0
3c) notwendige Bedingung für Wendepunkte f''(x)=0; hinreichende Bedingung für Wendepunkte f'''(x) ungleich 0 (Du setzt die ermittelten Werte in f'''(x) ein)
Untersuchung auf waagerechte Asymptoten: lim von f(x) gegen +unendlich und gegen -unendlich. Erhälst Du eine Zahl (z.B. 3) ist diese waagerechte Asymptote (a(x)=3).
Untersuchung auf senkrechte Asymptoten: lim von f(x) gegen die Definitionslücke(n). Geht diese gegen unendlich (+ oder -), liegt eine senkrechte Asymptote vor.
3d) Tangentengleichung: t(x)=mx+b
Ermittlung von m: f'(x)=m (für x den Wert des Wendepunktes einsetzen)
Ermittlung von b: t(x)=f(x) (wieder für x den Wert des Wendepunktes einsetzten)
3e) Graphen zeichnen, außerdem Wendepunkte, Asymptoten, Wendetangente
4) Hm, die Aufgabe verstehe ich nicht so ganz (tut mir leid).
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen!
Liebe Grüße, Tini |
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