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missi (missi)
Mitglied Benutzername: missi
Nummer des Beitrags: 15 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 08:57: |
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geg.:Quadrat mit Seitenlänge a1 Die Mittelpunkte der Seiten verbunden ergeben ein neues Quadrat mit der Seitenlänge a2. Der Vorgang wird fortgesetzt ges.: Wie lang ist die n-te Seitenlänge? Mein Lehrer hat da an=a1*(1/Wurzel(2))hoch(n-1) raus, aber ich weiß nicht, wie er darauf kommt. Kann mir bitte jemand weiterhelfen? |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 118 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 10:01: |
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Hallo Die Seitenlänge des 2.Quadrats ergibt sich so: (0,5a1)2 + (0,5a1)2 = a22 a2 = Wurzel(1/2) * a1 oder: a2 = a1 * 1/Wurzel(2) entsprechend: a32 = (a2/2)2 + (a2/2)2 a2 eingesetzt: a32 = (0,5 * Wurzel(1/2) * a12 + (0,5 * Wurzel(1/2) * a12 a32 = 1/8 * a12 + 1/8 * a12 a32 = 1/4 * a12 a3 = 1/2 * a1 oder: a3 = a1 * 1/Wurzel(4) Nun erkennst du, dass der Faktor a1 immer da ist. Du musst also nur das Zahlenwerk untersuchen und prüfen, wie sich die Zahlen verändern. beim 2. Quadrat: 1 / Wurzel(2) beim 3.Quadrat: 1 / Wurzel(4) 2 = 22-1 = 21 4 = 23-1 = 22 Nun ist der Groschen gefallen, oder? das unter der Wurzel ist immer 2n-1 also: die n-te Seitenlänge hat die Form a1 * 1 / Wurzel(2n-1) MfG Klaus |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 636 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 10:08: |
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die neue Seitenlänge, an+1 ist die Hypothnuse eines des gleichsch.re.wi. 3ecks mit den Katheten an/2 also ist an+1=Wurzel(2)*(an/2), gibt, nach Kürzen durch Wurzel(2) also an+1=an/ Wurzel(2), d.h. bei der nächsten und jeder weiteren Wiederholung des Einschreibens eines neuen Quadrates ver- kürzt sich die Seitenlänge um den Faktor Wurzel(2). für für a2 ist das das 1te mal, also Wurzel(2)1, für a3 ist das das 2te mal, also Wurzel(2)2, .. für an ist das das (n-1)te mal, also Wurzel(2)n-1, also an = a1 / Wurzel(2)n-1 Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
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