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Tanja
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 14:20: | 
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Hallo kann mir jemand hier helfen?
[(x-1)/(x-4)]>1
Danke für eure Hilfe, ist es richtig, dass wenn ich den Bruch auflöse=
[x-1]>[x-4]
Von einer Fallunterscheidung absehen kann, da [x-4] immer positiv ist? |
Justin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 13:46: |
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Hallo Tanja,
so einfach ist es nicht, wie Du Dir das denkst.
Denn es wird ja vom Gesamtausdruck (x-1)/(x-4) der Betrag gebildet und nicht von den Teiltermen (x-1) und (x-4).
Am besten ist, man macht hier eine Falluntersuchung folgender Art:
Für alle x<1 ist der Funktionswert stets kleiner als 1, denn der Ausdruck unter dem Bruchstrich ist vom Betrag her stets größer als der im Zähler.
Also fallen alle Zahlen x<1 als Lösung weg.
Für alle x>4 gilt nun, dass die Ausdrücke im Zähler stets größer sind als im Nenner.
Der Funktionswert ist also in diesen Fällen IMMER größer als 1. Alle x>4 erfüllen also die Ungleichung.
Etwas schwierig aber ist der Bereich von 1 < x < 4
An der Stelle x=1 wird der Term gleich NULL und das Vorzeichen wechselt für größere x ins negative und geht für x=>4 (Polstelle) gegen minus unendlich => durch die Betragsfunktion erfolgt die Umkehrung nach plus unendlich. Die Funktion ist also im Bereich 1 < x < 4 monoton steigend.
Also muss irgendwo im Bereich 1 < x < 4 ein x liegen, dass den Betrag(!) 1 liefert. Und alle Werte, die größer als jenes x sind, sind dann auch Lösung der Ungleichung.
Und dieses rechnet man nun einfach aus.
Fall 1:
(x-1)/(x-4) = 1
(x-1)/(x-4) = (x-4)/(x-4)
(x-1)-(x-4)/(x-4) = 0
3/(x-4) = 0
keine Lösung möglich.
Fall 2:
(x-1)/(x-4) = -1
(x-1)/(x-4) = -(x-4)/(x-4)
(x-1)+(x-4)/(x-4) = 0
2x - 5 = 0
2x = 5
x = 2,5
Test:
(2,5-1)/(2,5-4) = 1,5/(-1,5) = -1
Also ist die Lösung folgende:
Alle x > 2,5 sind Lösung der Funktion [(x-1)/(x-4)]>1
War das soweit alles nachvollziehbar? :-)
Schönen Tag noch
Justin |
Mechthilde
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 20:37: |
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Hallo Justin,
Deine Lösung ist leider falsch! |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 21:59: |
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Hallo Justin
Mechthilde hat leider recht, auch wenn sie wohl nicht Willens ist, ihr Wissen weiterzugeben.
Das meine Lösung falsch ist, liegt auf der Hand (falscher Ansatz).
Deine Lösung ist im Prinzip und von der Vorgehensweise korrekt. Nur hast du leider übersehen, dass 4 nicht zum Definitionsbereich der Ungleichung gehört, da der Nenner für x=4 Null wird.
Somit lautet die Lösungsmenge nun:
L={x€R|x>5/2 und x<>4}
So, nach dieser Gemeinschaftsarbeit stimmt's nun hoffentlich.
Mfg K. |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 17:40: |
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O.K. :-) |
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