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Frauke (Hellcat19)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 17:56: | 
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Hallo,
kann kann mir jemand bei volgender Aufgabe helfen?
2/(x-1)> 1/2x
Danke:-) |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 23:11: |
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Hallo Frauke,
ich nehme mal an, du meinst 2/(x-1) > 1/(2x).
Bei Ungleichungen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, falls man mit einer negativen Zahl multipliziert. Also machen wir eine Fallunterscheidung:
Fall x > 1:
Damit ist x-1 und 2x positiv und man kann mit diesen Faktoren malnehmen:
4x > x-1
3x > -1
x > -1/3
x muss aber durch die Voraussetzung größer als 1 sein, also folgt zusammen:
x > -1/3 und x > 1 ==> x > 1
Fall x < 0:
Jetzt sind x-1 und 2x negativ, aber da wir mit beiden Zahlen malnehmen, dreht sich das > zwei mal um, und ist wieder >. Es ergibt sich ebenfalls
x > -1/3, da aber x < 0 ==>
-1/3 < x < 0
Fall 0 < x < 1:
Es folgt nun: x < -1/3, aber wegen der Annahme 0 < x < 1, gibt es keine weitere Lösung.
Insgesamt ist die Lösungsmenge also
L = { x | -1/3 < x < 0 oder x > 1}
= ]-1/3;0[ vereinigt mit ]1;unendlich[
in Intervallschreibweise.
Hoffe dir weitergeholfen zu haben.
Uwe |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 23:27: |
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2/(x - 1) > 1/2x ; x ungleich 1 und x ungleich 0
2/(x - 1) - 1/2x > 0
Jetzt machen wir daraus einen Bruch (mit Hilfe des Hauptnenners):
(3x + 1)/[2x(x - 1)] > 0
Der Bruch ist größer als Null, wenn entweder Zähler und Nenner beide größer oder beide kleiner als Null sind:
3x + 1 > 0 UND 2x(x - 1) > 0 ODER 3x + 1 < 0 UND 2x(x - 1) < 0
Ein Produkt (in dem Fall 2x(x - 1)) ist größer/kleiner als Null, wenn die beiden Faktoren gleiche/verschiedene Vorzeichen haben:
3x + 1 > 0 UND (2x > 0 UND x - 1 > 0 ODER 2x < 0 UND x - 1 < 0) ODER 3x + 1 < 0 UND (2x > 0 UND x - 1 < 0 ODER 2x < 0 UND x - 1 > 0)
Wir lösen alles nach x auf:
x > -1/3 UND (x > 0 UND x > 1 ODER x < 0 UND x < 1) ODER x < -1/3 UND (x > 0 UND x < 1 ODER x < 0 UND x > 1)
Nun lösen wir die Klammern auf:
x > -1/3 UND x > 0 UND x > 1 ODER x > -1/3 UND x < 0 UND x < 1 ODER x < -1/3 UND x > 0 UND x < 1 ODER x < -1/3 UND x < 0 UND x > 1
Jetzt fassen wir die mit UND verknüpften Ungleichungen zusammen:
x > 1 ODER -1/3 < x < 0 ODER x < -1/3 UND x > 0 ODER x < -1/3 UND x > 1
Die rot unterlegten Ungleichungen sind in sich widersprüchlich und deshalb unerfüllbar. Am Ende bleibt übrig:
x > 1 ODER -1/3 < x < 0
oder als Lösungsmenge:
L = ]-1/3 ; 0[ U ]1 ; oo[
das U in der letzten Zeile soll "vereinigt mit" heißen, das "oo" heißt "Unendlich".
Es ist immer zu bedenken, das "UND" stärker bindet als "ODER" (so wie Punkt- vor Strichrechnung). |
Frauke (Hellcat19)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 08:43: |
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@Uwe:
Hmm, den Fall x<0 hab ich nicht so ganz verstanden.Kannst du (oder jemand anderes)mir das nochmal etwas ausführlicher erklären? |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 09:17: |
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Hi Frauke!
Also, wenn man annimmt, x sei kleiner als 0, dann ist x-1 erst recht kleiner als Null, denn man zieht ja noch eins ab. Ebenso bleibt die Zahl negativ, wenn sie mit 2 multipliziert wird: 2x.
2/(x-1) > 1/(2x) | mal 2x
4x/(x-1) < 1 | mal (x-1)
4x > x-1 | -x
3x > -1 | :3
x > -1/3
oder andersherum: -1/3 < x
Da ich aber angenommen habe, dass x<0 folgt insgesammt: -1/3 < x < 0, das heisst x liegt zwischen -1/3 und 0 (-1/3 und 0 aber ausgeschlossen).
Im zweiten und dritten Schritt dreht sich das Ungleichheitszeichen um, da mit einer negativen Zahl multipliziert wird.
Also bis dann ...
Uwe |
hellcat19
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 10:13: |
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Danke, jetzt hab ich's verstanden:-) |
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