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Beitrag |
    
Ina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 10:56: | 
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Ich weiß nicht, ob ich hier beim richtigen Thema gelandet bin, aber wir machen gerade Nullstellen von Funktionen, und ich kann nicht nach Null auflösen. Hilfe!
Gerade bin ich an dieser Funktion gescheitert:
f'(x)=4x^3+9x^2+6x+1
Wie setze ich das denn gleich Null, so das für x auch was rauskommt??
Vielen Dank für eure Hilfe,
Ina |
Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 11:09: |
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Hi Ina
4x³+9x²+6x+1=0
Eine Möglichkeit hier die Nullstellen zu ermitteln ist die Polynomdivision. Um diese Durchführen zu können, musst du allerdings zuerst eine Nullstelle erraten oder durch Probieren finden. Kleiner Tipp: Oft ist ein Teiler des konstanten Gliedes der Funktion eine Nullstelle; hier also ein Teiler von 1; also 1 oder -1. Diese Werte setzt du in die Funktion ein und probierst so, ob sie tatsächlich eine Nullstelle sind.
Also 1 einseten, ergibt 4*1³+9*1²+6*1+1=4+9+6+1<>0 keine Nullstelle
also -1 einsetzen, ergibt 4*(-1)³+9*(-1)²+6*(-1)+1=-4+9-6+1=0
Folglich ist -1 eine Nullstelle.
Weiter gehts mit Polynomdivision:
(4x³+9x²+6x+1) : (x+1) = 4x²+5x+1
-(4x³+4x²)
----------
....5x²+6x
..-(5x²+5x)
-----------
.......x+1
.....-(x+1)
-----------
.........0
4x²+5x+1=0 kannst du jetzt z.B. mit p-q-Formel ermitteln
Der Rest dürfte also kein Problem mehr darstellen.
mfg Lerny |
sailor
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 11:16: |
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Hi Ina, wenn Du so eine Gleichung dritten Grades hast, dann musst Du eine Lösung durch Probieren finden (meistens ist das +1 oder -1 bzw. +2 oder
-2); in Deiner Gleichung ist es -1 weil
4*(-1)³+9*(-1)²+6*(-1)+1=-4+9-6+1=0
dann musst Du eine Polynomdivision machen:
(4x³+9x²+6x+1)/(x+1)=4x²+5x+1
die restlichen Lösungen bekommst Du mit der Mitternachtsformel
das wär dann -1/4 und nochmal -1
sailor |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 11:25: |
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Hi Ina!
Um die Nullstelle dieser "kubischen" Gleichung zu finden, bedienen wir uns eines "Tricks":
4x³ + 9x² + 6x + 1 = 0
Wir vermuten, dass eine ganzzahlige Lösung existiert; diese muss nach Vieta ein Teiler des x-freien Gliedes (Absolutglied) sein.
Und da kommen günstigerweise nur 1 und -1 in Frage.
Wir probieren und sehen, dass -1 funktioniert.
Jetzt nutzen wir aus, dass sich eine Gleichung g(x) auch als g(x) = h(x) * (x-a) darstellen lässt, sofern a Nullstelle von g ist und h(a) ungleich Null gilt.
Also: 4x³ + 9x² + 6x +1 = h(x) * (x+1)
Um h(x) zu erhalten dividieren wir also den Ausgangsterm durch x+1. Dies geschieht m.H. der Polynomdivision:
h(x) = (4x³ + 9x² + 6x + 1) : (x + 1) = 4x² + 5x + 1
-(-4x³ + 4x²)
.............
5x²
-(5x² + 5x)
.............
x + 1
Somit ist g(x) = (4x² + 5x + 1) * (x + 1)
Jetzt wenden wir den Satz an, dass ein Produkt dann Null wird, wenn zumindest ein Faktor Null wird.
Also: x + 1 = 0 <=> x = -1
oder 4x² + 5x + 1 = 0
Lösung über p-q-Formel oder quadrat. Ergänzung ergibt:
x = -1 oder x = -1/4
=> f'(x) = g(x) = (x + 1)² * (x + 1/4)
x = -1 ist also doppelte Nullstelle und x = -1/4 einfache Nulstelle. Dies sind alle Nullstellen, da ein Polynom dritten Grades maximal 3 reelle Nullstellen haben kann.
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War hoffentlich ausführlich genug... solltest du noch Fragen haben, so melde dich!
mfG, Xell :-) |
Ina
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 18:31: |
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Erstmal vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe noch eine Frage: Wie kommt man bei der Polynomdivision auf (x+1)? Bzw., woher weiß ich, durch was ich teilen muss??
Ich hätte hier noch eine Gleichung, an der ihr mir das demonstrieren könnt:
f(x)= x^4-4x^3+3x^2+4x-4
Wäre nett, wenn ihr mir das noch mal erklären könntet!
Übrigens tolle Seite! Mein Lob!
Ina |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 19:38: |
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Hallo Ina
hier ist x=1 eine Nullstelle; d.h. ich muss durch x-1 dividieren. Gilt wegen x-1=0 <=> x=1
(x4-4x³+3x²+4x-4) : (x-1)=x³-3x²+4
-(x4-x³)
-------------
........-3x³+3x²
......-(-3x³+3x²)
-----------------
...............4x-4
.............-(4x-4)
--------------------
..................0
Folglich gilt f(x)=(x³-3x²-4)(x-1)
Die zweite Polynomdivision von x³-3x²-4 überlasse ich dir. Nullstelle ist -1.
mfg Lerny |
xxx
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 13:03: |
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Bei uns ist das ganz einfach, wir benutzen den TI92 und der macht das für uns
hähä |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 13:35: |
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Und womit macht euer TI92 das wohl?... |
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