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H2SO4
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 19:43: | 
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Hey,
ich habe mal ne total ganz andere Frage zum Thema Ableitungen. Im Moment bin ich in den USA als Austauschschueler, und muss die 11. Klasse nicht wiederholen wenn ich wieder zurueckkomme, mein Mathelehrer hat mir eben nur ein Buch geschickt und sagte ich muss Ableitungen wie im Schlaf koennen, und leider lernt man das hier in den USA nicht?
Kann mir einer sagen wie ich ueberhaupt anfangen kann das zu lernen und was das genau bringen soll?
Das Einzige was ich bisher kann sind die Potenzregeln, also das x(quadrat) zu 2x wird.
Bitte Hilfeeeeee !!!
Peter |
Gerd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 20:38: |
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Ein gut erklärtes Buch ist da vielleicht schon der beste Tipp. Falls das von Deinem Lehrer nichts taugt versuch es mal mit dem:
"Besser in Mathematik - Differentialrechnung" von Benny Mohry
Gerd |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 21:00: |
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Der Übliche Einstieg geht über Grenzwerte: Was Passiert mit einer Funktion, wenn sie ins unendliche geht oder, was passiert bei einer Definitionslücke. Man kann mit Hilfe des "Limes" (lat: Grenzwall) Aussagen machen wie: die funktion nähert sich an den und den Wert und zwar belibig genau. d.h. die Funktion nähert sich einem bestimmten Wert, ohne ihn aber zu erreichen. Den Limes auf eine "normal" Funktion losgelassen an einer "normalen" Stelle liefert den Funktionswert:
lim x = 3
x->3
lim x^2 = 9
x->3
das heist je näher man an 3 rankommt desto näher kommt der Funktionswert von x bzw. x^2 an 3 bzw. 9.
Das ist erst der Anfang. Man kann jetzt die steigung einer beliebigen (nichtlinearen) Funktion berechnen, indem man zwei Punkte betrachtet x1 und x2, und sie aufeinander zugehen lässt. Sagen wir x2 geht nach x1; die Steigung ist Nährungsweise
f(x2)-f(x1)
----------- = m(x2)
x2 - x1
und ändert sich mit x2 (wir sagen, dass x1 "fest" d.h. konstant sei). Nun lässt man den Grenzwert auf diesen Term los:
lim m(x2) = m
x2->x1
Und m ist dann die tatsächliche steigung in x1 (nicht nur nährungsweise, sondern exakt.). Das ist die Ableitung.
Nun kann man die Ableitung auf jeden Punkt loslassen, an dem f definiert ist und stellt eine Funktion auf f'(x), die die Steigung von f bei x beschreibt. Man kann dann Regeln Aufstellen, wie die Potenzregel, mit denen man Funktionen ganz leicht ableiten kann.
Ein Beispiel: f(x)=x^2 => f'(x)=2*x d.h. an der Stelle x1=2 hat f die Steigung f'(x1)=2*2=4.
Was soll das ganze?! Man kann jetzt Extremstellen Berechnen, d.h. Stellen an den f(x) ein Maximum oder Minimum hat (diese Methode funktioniert fast immer im Schulaltag; aber wenn man so was ernsthaft betreibt wirds noch um einiges komplizierter). Oft (d.h. in Aufgaben, die du in der Schule machst) ist es so, dass an solchen Stellen die Steigung 0 ist. Man löst die Gleichung f'(x)=0 und erhält Kandidaten für Extremstellen: z.b. f(x)=x^2 f'(x)=2*x=0 => x=0 ist kandidat für eine Extremstelle von x^2. Und tatsächlich hat x^2 bei 0 ein Minimum.
Praktisch wird das ganze gebraucht um z.B. den Gewinn an irgendetwas zu maximieren oder in der Physik, um die Geschwindigkeiten auszurechnen, denn Geschwindikeit ist eigentlich der Weg nach der Zeit abgeleitet, d.h. Zeit ist x koordinate und Weg ist f(x). So das war ein kurzer, harter Einstieg; mach's lieber von Grund auf, denn das ist wirklich nicht einfach. Ich selbst hab in Amerkia (3 Wochen Schüleraustausch) gaile Bücher drüber gefunden und für etwa 10$ das Stück gekauft. Die sind wirklich gut, führen aber nach 200 Seiten spätestens weit über den Schulstoff der 11. Klasse hinaus. Oder frag an Unis; vielleicht haben die bookstores in der Umgebung gebrauchte Bücher (für etwa 10 $); Titel: "Calcules" oder so ähnlich.
Ach vieleicht noch was zur Geschichte. Erfunden wurde die Differenzialrechnung von Newton (der hat das Ganze Fluxionsrechnung genannt) und Leibnitz unabhängig voneinander. Es hat mächtig Krach gegeben, wer's denn nun als erster entdeckt hat. Newton hat gewonnen, weil Leibnitz vor ihm gestorben ist. Newton brauchte die Differentialrechnung übrigens für die Physik. Wenn man sich tiefer mit Physik beschäftigt kommt man um die Differentialrechnung nicht rum. Sie ist sogar so wichtig, dass die Physik manchmal als Naturwissenschft der Differentialrechnung bezeichnet wird. In der Schule hat man damit aber nur wenig Kontakt.
So ich hoffe du hast es einigermaßen verstanden nach diesem Crashkurs. Besorg dir ein Buch das ist das Beste. Und viel Spaß noch in Amerika!
Derre |
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