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GT
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 13:54: | 
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Brauche Hilfe bei dieser Aufgabe!!!!
Ein Tunnel von 12m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt von 8 m. Durch den Einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen Wand aus Stahlblech (Wandstärke vernachlässigt) soll ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen werden. Welche Höhe muß der Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal wird? (Hinweis: Pythagoras) |
ari
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 10:05: |
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Hi GT,
zeichne den Querschnitt des Tunnels = Halbkreis mit Durchmesser 8 m, also Radius 4 m.
Zeichne die beiden senkrechten Wände a und die Bodenplatte b.
Verbinde den Mittelpunkt des Kreises mit einer Ecke, also einem der beiden Punkte, wo a und b sich schneiden.
- Diese Strecke ist der Radius 4 m und
- nach Pythagoras ist 4^2 = a^2 + (b/2)^2
Damit ist a^2 = 16 - (b/2)^2
Die Querschnittsfläche ist F = a*b = b*Wurzel(16 - (b/2)^2) = F(b)
Maximum von F = F(b): 1. Ableitung F'(b) Null setzen.
F(b) = b*Wurzel(16 - (b/2)^2) = Wurzel(16b^2 - b^4/4)
F'(b) = 1/2 * Wurzel(...)^(-1/2) * (32b - b^3) = 0
32b - b^3 = 0
b^2 = 32
b = Wurzel(32) = 2*Wurzel(8)
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a^2 = 16 - (b/2)^2 = 16 - b^2/4 = 16 - 8
a = Wurzel(8)
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Also b/2 = a, das rechtwinklige Dreieck beim Pythagoras ist gleichschenklig.
Der Form halber noch überprüfen, ob F''(b) < 0 ist.
Ciao. |
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