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Shanon (Laetitia)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 19:09: | 
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Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite c=12cm und der Schenkellänge a=b=18cm ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einzuschreiben. (mit dem 2.Strahlensatz zu lösen)
Bitte in klare Schritte gegliedert.
Danke!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 10:56: |
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Hi Shanon,
Zuerst berechnen wir die Höhe h zur Basis AB
des gleichschenkligen Dreiecks ABC
Mit F als Fusspunkt der Höhe kommt: nach
Pythagoras:
h^2 = CF^2 = CB^2 - FB^2 = 18^2 - 6^2 = 288;
h =12 * wurzel(2).
Jetzt wird dem Dreieck ein Rechteck PQRS
einbeschrieben;
die Ecken P,Q liegen auf der Basis AB , die Ecken
R,S je auf den Schenkeln CB und CA.
Die Seiten dieses Rechtecks seien:
PQ = SR = x ,
PS = QR = y
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt
mit G als Mittelpunkt der Strecke SR:
SR : AB = CG : CF oder:
x : 12 = ( h - y) : h
Daraus entsteht die Produktengleichung
h * x = 12 * ( h - y )
Setzt man für h den oben berechneten Wert ein
und löst die Gleichung nach y auf, so erhält man:
y = (12 - x) * wurzel(2)
Damit lässt sich die Fläche F = x * y des Rechtecks
durch die Variable x allein ausdrücken:
F = wurzel(2) * {12* x - x ^ 2 }
Wir ermitteln das Maximum der Funktion
f(x) = 12 x - x ^ 2 ,welche in der geschweiften Klammer ist.
Ableitungen nach x:
f ' = 12 - 2 x ; f '' = - 2 < 0
f ' ist null für x = 6 , daraus ergibt sich nach der Beziehung für y:
y = 6 * wurzel(2)
Weil die zweite Ableitung negativ ist , liegt ein Maximum vor:
F max = 36 * wurzel(2)
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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