| Autor |
Beitrag |
    
kathrin (silvinha)
Neues Mitglied
Benutzername: silvinha
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 22:04: | 
|
welche parabel p:y²=2px berührt die gerade g: y= 1/2 x +8 ?
bestimmen sie die koordinaten des berührpunkts!
|
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 277
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 23:52: |
|
Hi,
das ist mit einer Zeile getan! Wenn die Gerade y = m*x + d Tangente an die Parabel y² = 2px sein soll, gilt für sie (die Formel ist nur für y² = 2px) die sogenannte Berührbedingung:
p = 2m*d; hier ist m = 1/2 und d = 8, somit
p = 8, und die Parabel lautet y² = 16x.
Der Berührungspunkt T wird berechnet, indem man die Tangente mit der nun bekannten Parabel schneidet, dabei darf sich nur ein Punkt ergeben.
Diese Tatsache kann man nebenbei zur Herleitung der Berührbedingung heranziehen, da in diesem Fall die Diskriminante der entstehenden quadratischen Gleichung von vornherein Null zu setzen ist.
y = x/2 + 8 in y² = 16x einsetzen:
x²/4 + 8x + 64 = 16x
x²/4 - 8x + 64 = 0
x² - 32x + 256 = 0
x1 = x2 = 16 und y = 8 + 8 = 16, somit
T => T(16|16)
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 08., Dezember. 2002 von mythos2002 editiert) |
kathrin (silvinha)
Neues Mitglied
Benutzername: silvinha
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 00:13: |
|
wieso ist p=d ? |
kathrin (silvinha)
Neues Mitglied
Benutzername: silvinha
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 00:15: |
|
wieso ist p=d ? |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 278
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 00:21: |
|
nur Geduld beim Senden, das dauert immer etwas lange!
p = 2*m*d, m = 1/2, 2*m ist hier zufällig 1 |
kathrin (silvinha)
Neues Mitglied
Benutzername: silvinha
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 20:26: |
|
noch eine frage *bin halt kein mathe-genie*schäm*
wie berechnet man p... sehe den zusammenhang zwischen m und d und p nicht.
danke im voraus! |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 280
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 18:37: |
|
Hi,
der Zusammenhang ist ja
p = 2*m*d !! Das heisst auch Berührbedingung ...
Na gut, ich seh' schon, du willst den Beweis, voila!
Also allgemein:
Parabel: y² = 2px
Gerade: y = mx + d
-----------------------
Die beiden (allg.) schneiden (y von der Geraden in y² von der Parabel einsetzen):
(mx + d)² = 2px .. quadr. Gleichung in x
m²x² + 2mdx + d² = 2px
m²x² + 2x(md - p) + d² = 0, große Formel
x1,2 = [-2(md - p) +/- sqrt(4m²d² - 8pmd + 4p² - 4m²d²)]/(2*m²)
x1,2 = [-2(md - p) +/- sqrt(- 8pmd + 4p²)]/(2*m²)
Wenn die Gerade nun Tangente sein soll, muss der Ausdruck unter der Wurzel (sqrt = Wurzel) Null werden (der Ausdruck heisst auch Diskriminante):
4p² - 8pmd = 0
4p(p - 2md) = 0 |4p <> 0
p - 2md = 0
p = 2md
========
Ist doch schön, nicht?
Dazu hast du nun hier auch schon den x-Wert des Berührungspunktes (das was vor der Wurzel steht, mitsamt dem Nenner!) ->
xo = 2(p - md)/(2m²) = (p - md)/m²!
aus p = 8, m = 1/2, d = 8 folgt daher:
xo = (8 - 4)/(1/4) = 4*4 = 16 !
yo² = 16*16 -> yo = 16
Gr
mYthos
|
Monika Benke (mbsonnenschein)
Neues Mitglied
Benutzername: mbsonnenschein
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 09:25: |
|
An die Parabel f(x)=x2(quadrat)-2x+9/4 soll eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade derart angelegt werden, dass sie die Parabel genau in einem Punkt berührt (Tangente). Wie lautet die Gleichung der Geraden?
Kann mir Jemand helfen?
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 800
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 18:41: |
|
löse die Gleichung f(x) = k*x
nach
x auf.
Damit die Gerade eine Tangente wird
darf
die Gleichung nur eine Lösung haben,
der
Radikand der Wurzel (die Diskriminante der
quadrqatischen Gl. ) muß also 0 sein
Daraus erhältst Du das k für die Gerade.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
