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Neulich
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. August, 2001 - 22:33: | 
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Fortsetzung der Fragestellung von Seite
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/23/1496.html
Neulich: Der Satz
"Zu jeder Zahl kann man unendlich viele Zahlen finden, die kleiner sind" ist mir schon klar.
Aber wäre es falsch, zu sagen, ich kann nicht so viele Zahlen finden, die kleiner als 3 sind, als ich Zahlen finden kann, die kleiner als 8 sind?
Ingo: Ja das wäre falsch,denn mathematisch gesehen gibt es genausoviele Zahlen,die kleiner als 3 sind,wie Zahlen die kleiner als acht sind.Denn f(x)=(8/3)x ist eine Bijektion von ]-¥;3[ -> ]-¥;8[
Neulich: Aber was ist, wenn ich sage:
(der Einfachheit wegen beschränke mich einfach erst mal auf die natürlichen Zahlen)
"Ich kenne fünf Zahlen, die nicht in der Menge {x El. IN|x<3} enthalten sind, die aber in der Menge {x El. IN|x<8} enthalten sind: 3, 4, 5, 6 und 7.
Darf ich dann nicht sagen, ich habe fünf Zahlen mehr gefunden?
Erweitere ich jetzt auf die Menge der rationalen Zahlen, kann ich doch in der einen Menge ebenfalls einige Zahlen finden, die in der anderen nicht enthalten sind, sind es dann trotzdem nicht "mehr"?
Fern:
Hallo Neulich,
Deine Formulierungen sind undeutlich:
Darf ich dann nicht sagen, ich habe fünf Zahlen mehr gefunden?
1) Welche Zahlen hast du denn "gefunden"?
2) Diese "gefundenen Zahlen" sind dann mehr als was?
Es ist ja nur von 5 Zahlen die Rede: {3,4,5,6,7} aber nirgends von anderen Zahlen. Was willst du denn da vergleichen?
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Gruß, Fern
Hallo Fern,
mir ist schon klar, dass da irgendwo ein Fehler ist, nur, ich kann ihn nicht lokalisieren.
Ich versuche es nochmal anders:
Ich kenne fünf Zahlen, die in der Menge A={x € IN|x<8} enthalten sind,
die aber in der Menge B={x € IN|x<3} nicht enthalten sind: 3, 4, 5, 6 und 7.
Kann ich dann nicht sagen:
"Alle Elemente aus B sind auch in A enthalten, nur zusätzlich sind noch fünf weitere Elemente in A enthalten: die Elemente 3, 4, 5, 6 und 7."
?
Und wenn die fünf Elemente 3,4,5,6,7 zusätzlich da sind, dann kann man doch sagen, diese fünf Elemente seien zu B hinzugekommen,
oder schlicht: In A sind mehr Elemente als in B, nämlich zusätzlich die fünf hinzugekommenen, oder eben:
"A hat fünf Elemente mehr als B"
?? |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 01:04: |
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Über IN ist die Aussage richtig,weil es zwei endliche Mengen sind,die Du vergleichst. Sobald Du aber die Betrachtung auf Q erweiterst hast Du es mit zwei unendlichen Mengen zu tun,die beide abzählbar sind,also gleichmächtig.
Denke mal in der Klasse 1-7 wirst Du mit abzählbar unendlich nicht viel anfangen können. Ich versuche es mal zu erklären :
Bei endlichen Mengen kann man die Elemente zählen und damit klar sagen wann eine Menge mehr Elemente hat. Im unendlichen ist das aber schwieriger,denn wenn du zur Unedlichkeit noch 5 dazu zählst bleibt es nunmal unendlich. Das führt dazu,daß es bei unendlichen Mengen durchaus sein kann,daß eine Teilmenge gleichmächtig zu einer Obermenge von sich ist.
Man führt daher eine neue Definition von "gleichmächtig" ein : Zwei Mengen heißen gleichmächtig,wenn es eine Bijektion von der einen auf die andere Menge gibt. Das schließt den endlichen Fall mit ein und macht Sinn,denn eine Bijektion ist ja gerade eine Funktion,die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.
Das bedeutet beispielsweise,daß das Intervall ]0;1[ zu jedem Intervall ]a;b[ gleichmächtig ist,egal wie klein ich a und wie groß ich b wähle,denn es bestehe eine ein-eindeutige Zuordnung f(x)=a+(b-a)*x |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 10:16: |
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Das sind eigentlich neue Fragen, aber die gehören in diesen Kontext rein:
Ich mal von den Aleph-Mengen gehört, die Potenzmengen voneinader darstellen (ungenaue Formulierung, aber wer sie kennt, weiß hoffentlich was ich meine.); dabei sind diese Aleph-Mengen - ich glaube Cantor hat sie eingeführt - verschieden mächtig. Könnte mir das mal einer erklären?
Ich hab noch ein Problem: Wie lautet die bijaktive Abbildung von Q auf Q\{1}? Muss eigentlich bei einer Bijektion jeder Originalpunkt auf einen Bildpunkt abgebildet werden? Ich habe eine Definition gefunden, nachder nur Injektivität und Surjektivität einer Menge auf die andere genügt für Bijektivität, aber das verlangt eigentlich nicht, dass jedem Punkt der "Urmenge" ein Punkt der Bildmenge zugeordnet seien muss. Oder? |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 10:19: |
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Das sind eigentlich neue Fragen, aber die gehören in diesen Kontext rein:
Ich mal von den Aleph-Mengen gehört, die Potenzmengen voneinader darstellen (ungenaue Formulierung, aber wer sie kennt, weiß hoffentlich was ich meine.); dabei sind diese Aleph-Mengen - ich glaube Cantor hat sie eingeführt - verschieden mächtig. Könnte mir das mal einer erklären?
Ich hab noch ein Problem: Wie lautet die bijaktive Abbildung von Q auf Q\{1}? Muss eigentlich bei einer Bijektion jeder Originalpunkt auf einen Bildpunkt abgebildet werden? Ich habe eine Definition gefunden, nachder nur Injektivität und Surjektivität einer Menge auf die andere genügt für Bijektivität, aber das verlangt eigentlich nicht, dass jedem Punkt der "Urmenge" ein Punkt der Bildmenge zugeordnet seien muss. Oder? |
superknowa
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 01:07: |
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Zitat:
"Muss eigentlich bei einer Bijektion jeder
Originalpunkt auf einen Bildpunkt abgebildet werden?"
Antwort: Ja
Ich habe eine Definition gefunden, nachder nur Injektivität und
Surjektivität einer Menge auf die andere genügt für Bijektivität, aber das verlangt eigentlich nicht, dass jedem Punkt
der "Urmenge" ein Punkt der Bildmenge zugeordnet seien muss. Oder?"
Antwort: Doch. Injektivität und Surjektivität einer Menge auf die andere bedeutet gleichzeitig Injektivität und Surjektivität der anderen Menge auf die eine.
Die Potenzmenge einer Menge M ist nicht gleichmächtig zur (ursprünglichen) Menge M.
Dass es dazwischen keine anderen Mächtigkeiten gibt, ist die sog. Continuumshypothese (weder beweisbar noch widerlegbar).
Eine bijektive Abbildung von Q auf Q\{1} überleg ich mir noch. Man kann allerdings mit einem Trick (Dreiecksverfahren nach...?) nacheinander die Zähler und Nenner von Q aufzählen; bei der Bijektion lässt man dann einfach die 1 aus (d.h. weisst sie dem nächsten Element beider Abzählung zu, etwa 1/2).
Beispielsweise |N={0;1;2;3...} und |N\{0}:
0 ® 1
1 ® 2
2 ® 3
3 ® 4
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