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Beitrag |
    
Kay Schönberger (kay_s)
Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. August, 2002 - 21:50: | 
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Gegeben sei eine gerade Zahl N. Des weiteren seien p, q (unbekannte) natürliche Zahlen, so daß gilt:
N = p + 2pq + q
Da N gerade, gibt es offensichtlich folgende zwei Fälle:
1. p und q sind gerade
2. p und q sind ungerade
Ist es nun - in Abhängigkeit von N - möglich, einen der beiden oberen Fälle mit Sicherheit auszuschließen?
Kay S. |
olli (nmolli)
Neues Mitglied
Benutzername: nmolli
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 10:23: |
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Zum Anfang stell ich die genannet Aufgabe mal etwas um:
N = (p+q) + 2pq
Wenn jetzt (p+q) und 2pq eine gerade Zahl als Ergenis haben, so ist auch die Summe dieser Ergenisse eine gerade Zahl.
Jetzt mal auf Fall 1 bezogen. p und q sind gerade,
so ist die Summe von (p+q) auch gerade. Desweiteren is beier multiplikation von geraden Zahlen das Produkt auch immer gerade.
Bei Fall 2 ergibt die Additon zweier ungeraden Zahlen auch eine gerade Zahl und die Multiplikation einer Zahl mit 2 ergibt auch wieder eine Gerade, so dass N wieder gerade sein muss.
Man könnte die Aufgabe auch anders erklären, in dem man die 2 ausklammert:
N = 2(1/2p + pq + 1/2q)
Das Ergebnis der KLammer ist imemr ganzzahlig, auch wenn p und q und gerade sind. da 1/2p + 1/2q = x x aus Z ist.
Egal was jetzt in der Klammer für eine ganze Zahl rauskommt, die 2 macht diese imemr wieder gerade. Also lässt sich kein fall auschliessen
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Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 10:49: |
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Hi!
Also ich hab mal folgendes versucht:
1) p = 2k und q = 2m => N = 2(k + 4km + m)
2) p = 2k + 1 und q = 2m + 1 => N = 2(3k + 3m + 4mk + 2)
Nun wie Olli schon erwähnte ist in beiden Fällen N gerade. Aber die 2 Variante liefert teils andere Zahlen als die erste Variante. Damit kann man in Abhängigkeit von N eine Aussage treffen ob beide Zahlen gerade oder ungerade sind.
Ich werd nochmal drüber nachdenken 
Gruß Robert
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1279
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 12:10: |
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So allgemein wird das wohl nicht gehen.
Es ist ja z. B. für N = 22 sowohl gerade/gerade als auch ungerade/ungerade möglich. [(p,q) = (2,4) oder (1,7)] |
olli (nmolli)
Neues Mitglied
Benutzername: nmolli
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 17:09: |
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ach so meint der das ich setz mich da auch nochma ran |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 20:26: |
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Hallo Kay,
bei deiner Gleichung
(A) N = p + 2pq + q , N geradzahlig , p,q >= 1 ganzzahlig
sind drei Fälle zu unterscheiden:
1) 2N+1 ist eine Primzahl. Dann gibt es keine Lösungen p,q >= 1.
2) 2N+1 = p1*p2 ist das Produkt zweier Primzahlen. Dann gibt es die eindeutige Lösung p = (p1-1)/2 , q = (p2-1)/2 und dein Problem ist entscheidbar.
3) 2N+1 hat mehr als 2 echte ungerade Teiler. Dann gibt es zu jedem ungeraden Teiler 2m+1 | 2N+1 die Lösung p = m , q = ((2N+1)/(2m+1) - 1)/2. Und diese Lösungen können sowohl gerad- als auch ungeradzahlig sein. Dein Problem ist nicht entscheidbar.
Zum Beispiel hat jedes N der Form N = 36k+4 die geradzahligen Lösungen p = 4k , q = 4 und die ungeradzahligen Lösungen p = 1 , q = 12k+1 .
Etwas anschaulicher (alle N <= 50):
N = 2,6,8,14,18,20,26,30,36,44,48,50,... keine Lösung
N = 4,10,12,16,24,28,32,34,38,42,46,... eindeutige Lösung
N = 22,40,...,u.a. 36k+4,... nicht entscheidbar
viele Grüße
sol@ti
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Kay Schönberger (kay_s)
Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 10:34: |
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Hi sol@ti,
Du hast vollkommen recht!
Die interessante Frage ist ja, ob man unter 2) dennoch entscheiden kann, welcher Fall vorliegt, ohne die Zahl 2N + 1 zu faktorisieren...
Kay S. |
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