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Beitrag |
    
Marie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Dezember, 2005 - 14:06: | 
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Hallo zusammen.
Ich steh grad n bissl auf dem Schlauch und finde keinen rechten Zugang zu dieser Aufgabe:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und seien A,B Teilmengen von X. Prüfe, ob folgende Aussagen wahr sind:
a) Wenn A,B zusammenhängend sind, so auch der Schnitt von A und B.
b) Wenn A zusammenhängend ist, so auch die abgeschlossene Hülle von A (d.h. X\°(X\A))
c) Ist A endlich, so ist A folgenkompakt.
d) Ist A endlich, nichtleer, und zusammenhängend, so besteht A aus genau einem Element.
Könnt ihr mir helfen? Dachte eigentlich, dass das nicht so schwer sei, die Teilaufgaben geben alle nur 1-2 Punkte, aber mir fällt leider nix ein... 
Danke für jegliche Mühen,
Marie |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 682
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Dezember, 2005 - 16:55: |
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Hi,
ich habe im Moment noch etwas Schwierigkeiten mit dem Begriff "zusammenhaengend" bei allgemeinen metrischen Raeumen (z.B. N oder Z), aber wenn ich z.B. an einen R^2 denke ist a) sicher falsch (stell dir zwei Mondsicheln vor die sich an den Spitzen schneiden). c)ist sicher richtig, weil in jeder Folge mindestens ein Punkt unendlich oft drin ist.
Wie habt ihr "zusammenhaengend" definiert oder was weisst du noch ueber den Raum (X,d) ?
sotux |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1989
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 14:52: |
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Hallo Marie und Sotux
Ich benutze folgende Definition von zusammenhängend:
Der metrische Raum (X,d) heißt zusammenhängend, falls sich X nicht schreiben lässt als Vereinigung zweier nicht-leerer, offener und disjunkter Mengen.
a) Wie Sotux schon sagte ist das falsch. Du kannst zum Beispiel in der Ebene den "oberen" Einheitshalbkreis nehmen und den "unteren" Einheitshalbkreis.
b) Ich bezeichne die abgeschlossene Hülle mal mit A'.
Vereinigung mit u
Durchschnitt mit n.
Ue(x) bezeichne die offene e-Kugel um x.
{} sei die leere Menge.
Sei nun A zusammenhängend. Angenommen A' wäre nicht zusammenhängend.
Dann gilt A'= U u V mit U,V offen, U und V ungleich der leeren Menge, U n V = {}
Behauptung 1: U n A ist offen
Sei x € U n A
=> x € U n A' = U
=> Es existiert e>0 mit
Ue(x) Teilmenge A' n U.
Insbesondere
Ue(x) Teilmenge A'
=> Ue(x) Teilmenge A
=> Ue(x) Teilmenge A n U
=> A n U offen
Analog A n V offen.
Behauptung 2: A n U ¹ {}:
Sollte klar sein, weil sonst U Teilmenge des Randes von A wäre und damit sicher nicht offen.
(Analog A n V ¹ {})
=> A=(U n A) u (V n A)
=> A ist nicht zusammenhängend.
Widerspruch, also ist A' zusammenhängend, was auch anschaulich zu erwarten war.
c) Hat Sotux schon richtig beantwortet.
d) Sei A={a1,...,an} zusammenhängend.
Betrachte U:={a1,...,an-1} und V:={an}
Im Fall n>1 sind U und V nicht leer und disjunkt.
Wir zeigen noch, dass U und V offen sind.
Ohne Einschränkung betrachte ich mal das Element a1. Für die anderen geht es genauso.
Definiere
e:=min{d(ai,aj) | i¹j ; i,j=1,..,n}
Da nur endlich viele Punkte vorliegen ist e>0.
Insbesondere gilt
Ue(a1)={a1} Teilmenge von U.
=> U offen.
Analog ist V offen.
=> A ist nicht zusammenhängend.
=> n=1.
MfG
Christian |
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