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Beitrag |
    
Mike
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 15:43: | 
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22) n>=3 ist eine natürliche Zahl. Beweise, dass zwischen n und n! eine Primzahl liegt!
24) Beweise, dass n^4+4 für keine nat. Zahl n>1 eine Primzahl ist.
Danke im Voraus! |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. November, 2005 - 20:07: |
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Hallo Mike,
Aufg. 22)
Kennst du den Euklidischen Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt?
Annahme: Es gibt endlich viele (p1,...,pn).
Dann ist aber p1*...*pn+1 durch keine dieser Primzahlen teilbar, denn jedesmal käme der Rest 1 heraus. Also muss diese Zahl entweder selbst prim sein, oder aus anderen Primzahlen als den aufgezählten bestehen -> Widerspruch.
Die hier verwendete Konstruktionsformel kann man bei deinem Beweis verwenden:
Man multipliziere alle Primzahlen £n und addiere 1. Damit ist ab n=4 die Ergebniszahl >n und <n! (weil ja nicht alle Faktoren vorkommen). Außerdem ist sie nicht durch Primzahlen £n teilbar, d.h. sie ist selbst eine Primzahl in dem vorgegebenen Bereich, oder sie besteht aus Primzahlen von dort.
n=3 rechnet man direkt nach (Primzahl 5 zwischen 3 und 3!).
Aufg. 24)
Wenn du dir (z.B. mit Excel) mal die ersten 20 Zahlen auflistest, stellst du fest, dass bei allen n, die nicht durch 5 teilbar sind, die Zahl n^4+4 durch 5 teilbar ist. Beweis:
Wir zerlegen n als 5*k+a mit a=1,2,3,4. Dann ist
(5k+a)4 + 4 = 54n4 + 4*53n3*a + 6*52n2*a2 + 4*5n*a3 + a4 + 4
In den ersten 4 Summanden ist jeweils der Faktor 5, sie sind also durch 5 teilbar. a4 lässt bei Teilung durch 5 immer den Rest 1. Damit ist a4+4 und damit auch die gesamte Zahl durch 5 teilbar.
Bleiben noch die durch 5 teilbaren n. Wenn n gerade ist, ist auch n4+4 gerade, d.h. durch 2 teilbar und damit nicht prim.
Zu den restlichen fällt mit leider gerade nichts ein, damit wäre das Ganze nur ein 90%iger Beweis, aber vielleicht fällt dir ja selber noch was Brauchbares ein.
Gruß Dörrby |
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