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Gammafunktion

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Gammafunktion « Zurück Vor »

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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1804
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 14:53:   Beitrag drucken

Hallo :-)

Habe mal ein paar Fragen zur hier doch sehr beliebten Gammafunktion. Über die muss ich nämlich in 2 Wochen im Rahmen eines Proseminars einen Vortrag halten.
Das ganze soll 90 Minuten dauern und die kriege ich noch nicht ganz gefüllt. Bisher bin ich etwa so weit, dass ich die Integraldefinition der Gammafunktion vorstelle und danach die 3 charakterisierenden Eigenschaften beweise(d.h. G(1)=1, G(x+1)=xG(x), G ist logarithmisch konvex).
Und hier wird es jetzt ein wenig problematisch. Der Vortrag ist nämlich aufgespaltet in zwei Teile. Im zweiten Teil kommt erst die Gaußsche Darstellung der Gammafunktion, woraus sich ja einige schöne Beziehungen gewinnen lassen wie z.b. G(1/2)=sqrt(p).
Ich bräuchte also irgendwas zur Gammafunktion, was sich direkt aus der Integraldarstellung ergibt. Die Suchfunktion habe ich auch schon benutzt und auch viele interessante Sachen gefunden, allerdings führen die meistens schon zu weit um sie in relativ kurzer Zeit beweisen zu können.
Weiter würden mich auch noch historische Sachen zur Gammafunktion interessieren und auch Anwendungen in den Naturwissenschaften wie Physik.

Vielen Dank schonmal.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5028
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 16:09:   Beitrag drucken

Hi Christian

Vor genau zwei Jahren ging die folgende „Jubiläumsaufgabe“
hier über die Bühne.
Ich weiss nicht, ob Du das mitverfolgt hast.
Jedenfalls liegt eine typische Anwendung der Eulerschen Gammafunktion
in der Integralrechnung vor.
Ich lasse den Beitrag nochmals los.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



Hi allerseits

Ich gestatte mir als engagierter Aufgabenlöser
im Forum „zahlreich“ einmal selber
eine Aufgabe zu stellen und sie nur im Notfall selbst
zu lösen.
Dies geschieht in Erinnerung an den 23.Apil des letzten
Jahres, als die Beta- und Gammafunktion ihre Urstände
In diesem Forum feierten.
Der Kreis der Eingeweihten ist klein, aber virulent.
Die Ergebnisse konnten sich sehen lassen und die
Ereignisse überstürzten sich beinahe.

Die neue Aufgabe lautet schlicht und einfach so:
Gegeben wird die Funktion f ( t ) = (1 – t^3) ^1/4.
Man drücke das bestimmte Integral in den Grenzen
t = 0 bis t =1 über f(t) mittels einzelner Werte der
Gammafunktion aus ohne Benützung eines
Computeralgebrasystems.

Viel Vergnügen wünscht
H.R.Moser, megamath


Hi allerseits,

Ich löse die etwas allgemeinere Aufgabe:

Gesucht wird das Integral in den Grenzen
t = 0 bis t = 1 über f(t) = (1 – t^m) ^ 1/n .
Das Resultat ist auszudrücken durch die
Betafunktion B(p,q) oder durch Werte der
Gammafunktion G(x).
Wir gehen aus von der Definitionsgleichung
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x) ^(q-1)] dx
in den genannten Grenzen.

Es ist erstaunlich, wie hilfreich geeignete
Substitutionen bei der Betafunktion sein können.
Wir werden dies noch in einem andern
Zusammenhang erfahren.

Für unser Thema bietet sich die Substitution
x = t^m , dx = m t^ (m-1) an.
Wir erhalten nach kurzer Rechnung
B(p,q) = m * int [t^(mp-1) (1-t^m) ^(q-1)] dt
in denselben Grenzen.
Nun sei p = 1/m, q = 1 + 1/n; dann entsteht das Integral
in den Grenzen t = 0 bis t = 1 mit dem einfachen
Integranden g(t) = (1 – t^m) ^1/n .
Das bestimmte Integral ist gleich zu setzen dem Wert
1/m * B (1/m ; 1 +1/n)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für m = 3 , n = 4 entsteht unsere Aufgabe.

Das Resultat kann mittels der Gammafunktion so
geschrieben werden:
1/m G(1/m) G(1+1/n) / G (1 + 1/n+1/m)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5029
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 19:18:   Beitrag drucken

Hi Chritian

Hier noch eine Kleinigkeit aus dem Festival 2003
zu einer Deiner Fragen:

Hi allerseits,

Das Festival der Gammafunktion dauert
mindestens bis zum 30.April.2003

Daher ist es wohl angebracht, eine weitere
Aufgabe zum aktuellen Thema in dieses Forum
zu stellen. Sie lautet:
Man zeige mit möglichst wenig Rechenaufwand
und auf verschiedene Arten:
Gamma( ½ ) = sqrt(Pi)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Kenntnisse über die Gammafunktion G(x) dürfen
verwendet und müssen nicht neu hergeleitet werden.

Viel Vergnügen wünscht
H.R.Moser,megamath


Hi allerseits,

Zu der gestellten Aufgabe „Gammafunktion II“
sind mir spontan drei Lösungen eingefallen,
die ich der Reihe nach vorführen möchte:

1.
Wir verwenden die für alle p zischen 0 und 1
gültige Beziehung für die Gammafunktion
G(x):
G(p)*G(1-p) = Pi / sin (p*Pi) und setzen
darin p = ½ .
Dann ergibt sich die Behauptung unmittelbar.

Fortsetzung folgt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Fortsetzung:

2.
In der für die Betafunktion gültigen Relation
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x) ^(q-1)] dx
(untere Grenze t = 0, obere Grenze t = 1)
setzen wir p = q = ½ ein.
Es entsteht wegen
B(p,q) = G(p) G(q) / G(p+q)
die Beziehung
G(½) ^ 2 = int [1 / sqrt (x – x^2) ] dx
in den genannten Grenzen.
Eine Stammfunktion lautet: arc sin (2x-1) .
Setzt man die Grenzen ein, so kommt
G( ½) ^ 2 = Pi , was zu zeigen war.

Anmerkung
Die erwähnte Stammfunktion gewinnt man etwa
durch die Substitution
2x – 1 = u, damit : 2 dx = du , x = ½ (u +1) etc.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Fortsetzung

3.
Wir gehen ad fontes, d.h zurück zu den Quellen;
ex definitione gilt:
G (½) = int [e^(-x) / sqrt(x) ] dx.
(mit der unteren Grenze 0, der oberen Grenze unendlich).
Mit der Substitution sqrt(x) = u , dx = 2 sqrt(x) du
entsteht
G (½) = 2 int [e^ (- u^2) ] du in denselben Grenzen
Das Ergebnis ist bekannt; für das Integral erhalten wir
½ sqrt(Pi) , q.e.d.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1806
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 21:01:   Beitrag drucken

Hallo Megamath :-)

Vielen Dank schonmal für die Beiträge. Habe noch ein paar Fragen dazu. Hast du einen Beweis für die Konvergenz des Betaintegrals? Und wie kommt man auf die Identität B(p,q) = G(p) G(q) / G(p+q) ?

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1760
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 23:25:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielleicht hilft dir das hier:

Beta Integral:

Zur Konvergenz:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node106.html

Eigenschaften:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node107.html

Zum Zusammenhang Gammafunktion - Betafunktion:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node109.html


mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5030
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 08:11:   Beitrag drucken

Hi Christian

Hier mein Exkurs, den ich im April 2003 anlässlich
eines internen Gammafestes publiziert habe

Hi allerseits,

Am vierten Jubiläumstag zu Ehren der Gammafunktion
soll ein zentraler Satz bewiesen werden.
Es ist die von Leonhard Euler aufgestellte Beziehung
zwischen seinem Integral erster Gattung oder der Betafunktion
B(p,q) und seinem Integral zweiter Gattung, der Gammafunktion G(x).
Diese Beziehung lautet
B(p,q) = G(p) * G(q) / G(p+q)…………………………………………..®

Zum Beweis benötigen wir am Anfang und am Schluss die beiden
Hilfssätze Lemma1 und Lemma 2, die wir kürzlich separat hergeleitet
haben.

Als Beweismethode benütze ich ein bewährtes Verfahren, das in
früheren Analysisvorlesungen vor mehr als fünfzig Jahren
gang und gäbe war und das sich offenbar bewährt hat.
Ich versuche, das Ganze zu rekonstruieren.

Wir stellen die Hilfssätze nochmals auf; sie lauten:

Lemma 1
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich

Lemma 2
G(p) = z ^ p * int [e ^ ( - x z ) * x ^ (p-1) dx ]
für beliebige z > 0,
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.

Beginn des Beweises:
Wir setzen in Lemma 2
z = a < 1 und wählen w als Integrationsvariable;
damit haben wir:

G(p) = a ^ p * int [e ^ ( - a w ) * w ^ (p-1) dw]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Dies führt auf:
1 / a^p = 1 / G(p) = a ^ p * int [e ^ ( - a w ) * w ^ (p-1) dw]
Nun ersetzen wir a durch 1 + x mit x > 0 und p durch p+q; es kommt:

1 / [(1+x)^(p+q)] = 1/G(p+q) * int [e ^ {- (1+x)w}* w^ (p +q -1) dw]
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit x^(p-1) und integrieren
von 0 bis x1.
Die linke Seite L ist
L = int[x^(p-1) / (1+x)^(p+q) dx] in den Grenzen 0 bis x1 > 0.

Die rechte Seite R ist ein Doppelintegral:
R = 1/G(p+q) * int [dx] int [e ^ {- (1+x)w}* w^ (p +q -1) dw]
Zuerst wird in den Grenzen 0 bis x1, dann von 0 bis unendlich
integriert.

Die Reihenfolge der Integration darf aus guten Gründen
vertauscht werden; für R erhalten wir jetzt:
R = 1 / G(p+q)* int[e ^(- w) * w^(p+q-1)dw] int[x^(p-1) e ^(- x w) dx].
Zuerst wird in den Grenzen 0 bis unendlich, dann von 0 bis x1
integriert.

Lassen wir x1 gegen unendlich gehen, so strebt L gemäß
Lemma 1 gegen B(p,q).

Aus R wird nach vollzogenem Grenzübergang:
1/ G(p+q) * w^p* int[e ^(-w)*w^(q-1) dw]*int [e^(-xw) x^(p-1) dx]
Grenzen 0 bis unendlich bei beiden Integralen.

mit Hilfe des zweiten Lemmas erhalten wir schließlich
(1/w^p hebt sich weg):


R = 1/G(p+q) * G(p) * int[ e^(-w) w^(q-1) dw =
1/G(p+q) * G(p) * G(q)

Aus L = R folgt die Behauptung.

Danke für die Geduld!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Berta13 (Berta13)
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Nummer des Beitrags: 2
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 09:19:   Beitrag drucken

Auf Gamma und Beta!
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5031
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 09:36:   Beitrag drucken

und auf Berta!
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Berta13 (Berta13)
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Nummer des Beitrags: 3
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 09:57:   Beitrag drucken

Wenn man übrigens hier auf dieser Seite, wo man im Moment liest, ganz hinunterscrollt, steht ganz unten links im Eck :
Informationen: Gammafunktion.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1807
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 10:46:   Beitrag drucken

Hallo ihr drei :-)

Vielen Dank f�r die Beitr�ge. Ich werde mal sehen ob sich noch irgendwas von den obigen Sachen in meinen Vortrag einarbeiten l�sst. K�nnte ein wenig problematisch werden bei der Beta-Funktion, weil es doch recht lange dauert Konvergenz usw. zu zeigen.

Hat von euch noch jemand einen Beweis, dass jede auf einem offenen Intervall konvexe Funktion stetig ist? Daraus w�rde ja die Stetigkeit der Gammafunktion folgen.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5033
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 11:26:   Beitrag drucken

Frage an Berta:



Soll ich Teile unserer Korrespondenz vom April 2002 hier und jetzt reproduzieren?

MfG
H.R.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1310
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 13:11:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich darf auch ein Vortrag über die good old Gamma Funktion halten.

Mein Vortragsschema sieht so aus

-Eulersche Integraldarstellung der Gamma Funktion
- log. Konvexität der Gammafunktion
- Der Satz von Bohr und Mollerup
- Korollar Gaußdarstellung der Gammafunktion
- Ableitungen der Gammafunktion
- eine weitere Funktionalgleichung
- Die Gammafunktion ist die einzig stetig diffbare Funktion die die "neue" Funktionalgleichung erfüllt.
-Beispiel: Es gibt stetig nicht diffaber Funktionen mit Eigenschaften der Gammafunktion

mir wurden allerdings auch 2x90 min eingeräumt.

aber wenn du noch Zeit übrig hast dann kanst du ja die "andere" Funktionalgeichung mal beweisen im Vortrag und das Beispiel durchrechnen...

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1808
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 14:57:   Beitrag drucken

Hi Niels

Welche weitere Funktionalgleichung meinst du denn? :-)

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1311
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 16:09:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich meine die Funktionalgeichung:

für p aus IN:

c_p *Gamma(x)=p^x*Gamma(x/p)*...*Gamma((x+p-1)/p)

Gruß Niels
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1809
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 16:30:   Beitrag drucken

Hi Niels

Die Gleichung kannte ich noch nicht. Sie sieht aber auch so aus, als ob man sie nicht besonders schnell beweisen kann. Jedenfalls kommen da doch sicher auch Mehrfachintegrale vor, oder?
Die darf ich n�mlich leider nicht verwenden...

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1312
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 17:33:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

ganz im Gegenteil, der beweis ist im höchsten Maße
Elementar. das einzige was man dort reinstecken muss ist den Satz von Bohr und Mollerup also die
Charakterisierung der (reellen) Gammafunktion in Form von

- f Log Konvex
- f(x+1)=x*f(x)
- f(1)=1

wenn du diese 3 Eigenschaften für die Funktion

f(x)=p^x *Gamma(x/p)*...*Gamma((x+p-1)/p)

anwendest, dann hast du es schon....

nix groß mit Integralen....

und als Korollar bekommt man sogar im Prinzip die
Verdopplungsformel von Lagrange...
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1810
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 18:07:   Beitrag drucken

Hi Niels

Leider habe ich den Satz von Bohr nicht :-(
Der kommt erst im zweiten Teil des Vortrags dran. Dadurch fehlt nat�rlich auch die Gau�-Darstellung der Gammafunktion. Irgendwie finde ich auch keine richtig einfachen Sachen zur Gammafunktion, die sich direkt aus der Eulerdarstellung ergeben.
Das einzige was sich noch wirklich schnell ergeben w�rde ist, dass die Gammafunktion stetig ist. Daf�r br�uchte ich aber noch den Satz, dass jede auf einem offenen Intervall konvexe Funktion stetig ist. Daf�r habe ich aber leider noch keinen Beweis.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5034
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 18:27:   Beitrag drucken

Hi Christian

Noch ein paar Bemerkungen zum Konzept
einer Behandlung der Gammafunktion im Unterricht oder bei Vorträgen.
Zuerst wird man sich überlegen, ob man ganz im Gebiet der reellen Analysis bleibt oder ob man die Gammafunktion als
meromorphe Funktion im Komplexen auffasst.
Das Letztere geschieht in der Regel und naturgemäß im Rahmen der Funktionentheorie.

Beschränkt man sich auf das Reelle, so sind verschiedene Einstiegsmöglichkeiten vorhanden, die zum selben Ziel führen:
ein sicherer Umgang mit den Eigenschaften der Gammafunktion.
Im Zentrum steht in jedem Fall der erwähnte Eindeutigkeitssatz von Bohr-Mollerup(1922).


Zum letzten Punkt schreibt der bekannte Hamburger Mathematiker Emil Artin (1898-1969):
Mit der vorliegenden Broschüre hoffe ich, eine oft empfundene Lücke in der mathematischen Literatur auszufüllen.
Die in Deutschland üblichen Lehrbücher der Analysis gehen nämlich trotz der Wichtigkeit der Gammafunktion für viele Gebiete der Mathematik nur ganz kurz und mit unnötig komplizierten Beweisen auf diese Funktion ein.
Ich glaube in dieser Schrift zeigen zu können, dass die
Gammafunktion in jeder Hinsicht zu den Elementarfunktionen gerechnet werden kann, und dass für alle Eigenschaften dieser Funktion elementare. durchsichtige und dem Standpunkt eines Kollegs über Integralrechnung angepasste Beweise gegeben werden können.
Der Grundgedanke der hier befolgten Einführung der
Gammafunktion stammt von den Herren Bohr und Mollerup.
Mit Hilfe dieses Grundgedankens der logarithmischen Konvexität lässt sich der ganze Bestand der Theorie herleiten.

Ende Zitat.

Leider ist das Buch von E.Artin nicht mehr erhältlich.
Die Artinsche Darstellung wird im vorzüglichen
Buch von
Max Koecher,
Klassische elementare Analysis,
Verlag Bikhäuser,1987

erfolgreich aufgenommen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1313
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 18:37:   Beitrag drucken

ach, dann hast du ja wirklich nur den Müll bekommen...

Mehar als die 3 Punkte in der Charakterisierung nachzurechnen ist wohl wirklich nicht drin.
Du könntest natürlich auch dir kurz die Gaußdarstellung aus der Eulerschen Integraldarstellung herleiten.

Das wäre recht schnell mit dem Satz von Lebesgue zu erledigen, aber es würde auch "zu Fuß" gehen...

Nur das ist ja wohl nicht deine Aufgabe- deinem Vortragskollegen alles auf dem Silbertablett zu servieren...

Der Satz das konvexe Funktionen auf dem inneren ihres Definitionsbereiches stetig sind gilt in der Tat; aber bedenke die Gammafunktion ist nur log Konvex. Du bekämst also nicht damit heraus das die Gammafunktion stetig ist, sondern nur das der Logarithmus der Gammafunktion stetig ist.

Allerdings ist in der Tat die Gammafunktion konvex und damit stetig...
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1314
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 18:46:   Beitrag drucken

Ich kann ja nur die "Analysis Triolgie"
von Amann/Escher empfehlen. Dort gibt es im 2
Band ein extra Kapitel (13 Seiten) über die Gammafunktion. Allerdings geht der ganz gut ab
und ist sehr allgemein (was in meinen Augen ja oft ein Vorteil ist)

Mein Vortrag behandelt auch nur die GAmmafunktion im Rellen- den Komplexen Teil wollte mein Prof wohl in der Analysis IV Vorlesung die ich derzeit höre und sich um Funktionentheorie dreht behandeln.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1315
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 19:44:   Beitrag drucken

sorry, ich meine natürlich triologie...

Birkhäuser Verlag
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1761
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 25. April, 2005 - 13:45:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielleicht hilft dir das hab das mal grade schnell eingescannt, aber selbst nicht nachgerechent. Die Lipschitzstetigkeit wäre ja eine noch etwas stärker Aussage!!

mfg
Beweis1
Beweis2
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1316
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Veröffentlicht am Montag, den 25. April, 2005 - 15:48:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

wo hast du das denn her???

Gruß N.
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5035
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 25. April, 2005 - 16:50:   Beitrag drucken

Hi Christian

Lass Dich nicht verunsichern!

Eine weitere Perle:

„Von Prof. van Lint stammt auch ein eleganter und sehr anschaulicher
Beweis für die Stetigkeit konvexer Funktionen auf offenen Intervallen.
Voraussetzung dafür ist die oben angegebene Definition….

zu finden unter


http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/briefmarke_03_11.htm


Anm.
Brauchst Du noch Beweise zu den beiden Lemmata,
die in einem meiner früheren Beiträge verwendet wurden?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 25. April, 2005 - 21:21:   Beitrag drucken

Hallo :-)

Vielen Dank f�r eure "zahlreichen" Beitr�ge.

Beschr�nkt man sich auf das Reelle, so sind verschiedene Einstiegsm�glichkeiten vorhanden, die zum selben Ziel f�hren:
ein sicherer Umgang mit den Eigenschaften der Gammafunktion.
Im Zentrum steht in jedem Fall der erw�hnte Eindeutigkeitssatz von Bohr-Mollerup(1922).


Ja, der Eindeutigkeitssatz ist sehr wichtig. Ohne ihn fallen sofort einige Dinge weg, die es zur Gammafunktion zu sagen gibt, was leider mein größtes Problem an der ganzen Sache ist...

ach, dann hast du ja wirklich nur den M�ll bekommen...

Mehar als die 3 Punkte in der Charakterisierung nachzurechnen ist wohl wirklich nicht drin.
Du k�nntest nat�rlich auch dir kurz die Gau�darstellung aus der Eulerschen Integraldarstellung herleiten.


Ja, stimmt. Ich h�tte mich doch besser f�r den zweiten Teil des Vortags eintragen sollen ;)

sorry, ich meine nat�rlich triologie...

Eher Trilogie, oder? :-)


Die Beweise, dass konvexe Funktionen stetig sind, habe ich mir beide durchgelesen. Das werde ich auf jeden Fall in den Vortrag einarbeiten. Das gibt nochmal ein wenig. Damit d�rfte ich genug Sachen haben, auch wenn es die eher uninteressanten im Bezug auf die Gammafunktion sind ;)

Der Satz das konvexe Funktionen auf dem inneren ihres Definitionsbereiches stetig sind gilt in der Tat; aber bedenke die Gammafunktion ist nur log Konvex. Du bek�mst also nicht damit heraus das die Gammafunktion stetig ist, sondern nur das der Logarithmus der Gammafunktion stetig ist.

Du hast recht. Ich hatte nur vorher schon bewiesen, dass logarithmisch konvexe Funktionen auch konvex sind. Dann passt wieder alles.

Brauchst Du noch Beweise zu den beiden Lemmata,
die in einem meiner fr�heren Beitr�ge verwendet wurden?


Auch wenn ich sie wahrscheinlich nicht in meinem Vortrag verwenden kann w�rden sie mich trotzdem interessieren. Werde mir das dann alles in den Ferien mal durchlesen. Im Moment habe ich irgendwie echt wenig Zeit, weil ich mir das Semester ziemlich vollgepackt habe ;)

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5036
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 26. April, 2005 - 06:49:   Beitrag drucken

Hi Christian

Hier die Herleitungen der beiden Hilfssätze:


Hi allerseits,

Bei der Herleitung des Lemmas 1 geht es darum,
zu zeigen, welche Metamorphose aus der Beziehung

B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0, obere Grenze 1

die Relation
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich

entstehen lässt.

Eine mögliche Antwort lautet:
man substituiere x = t / (1 + t),
daraus entsteht 1 - x = 1 / (1 + t), t = x / (1 – x),
dx = 1 / (1 + t) ^2, also

B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / [(1+t) ^ (p-1) *(1+t)^(q-1)*(1+t)^2] dt
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich; vereinfacht:
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt,
mit denselben Grenzen,
was zu zeigen war.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath




Hi allerseits,

Zur Herleitung des Lemmas 2 schreiben wir die Integralbeziehung
für die Gammafunktion G(p) mit u als Integrationsvariable so:
G(p) = int [e ^ (-u) * u^ (p-1) * du] , (p>0) ,
untere Grenze u = 0, obere Grenze u = unendlich.
Wir substituieren:
u = z x mit konstantem z > 0; mit du = z dx kommt:

G(p) = z^p * int [e ^ (- z *x ) * x^ (p-1) * dx] , (p>0) ,
untere Grenze x = 0, obere Grenze x = unendlich

Damit ist Lemma 2 hergeleitet.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



Hi allerseits,

Erste Anwendungen der beiden Hilfssätze

1 .
Man berechnen nochmals G(½).
Zur Lösung setzen wir in Lemma 1 p = q = ½,
und wir bekommen
B(½, ½) = int {1 / [(1+t) sqrt(t) } dt
untere Grenze null, obere Grenze unendlich
Eine Stammfunktion ist (leicht zu finden)
F(t) = 2 arc tan sqrt (t); setzt man die Grenzen ein,
so erhält man das erwartetet Resultat
B(½, ½) = Pi, daraus ergibt sich G (½ ) = wurzel(Pi).

2:
Es soll das uneigentliche Integral
J = int [e^(-2x)/sqrt(x) dx ] berechnet werden
Die Grenzen sind wiederum 0 und unendlich.

Lösung : wir setzen im zweiten Lemma z = 2,
p = ½ ein, und das Ergebnis steht
- wegen G( ½ ) = sqrt(Pi) –
auf dem Präsentierteller da:
J = ½ sqrt ( 2 *Pi ).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ende des alten Textes

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1318
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 26. April, 2005 - 20:52:   Beitrag drucken

hi Christian,

jo sorry, aber ich studiere Mathe und nicht Germanistik:-)

Bei interesse kann ich dir ja mal meinen 9 Seiten Vortrag schicken....

bin zwar erst in 1,5 wochen dran, aber der Vortrag ist zu 99% fertig- bin grad am Tex feinschliff.

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1814
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 07:24:   Beitrag drucken

Hi Niels

Klar w�rde mich dein Vortrag interessieren :-)

MfG
Christian

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