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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5022
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 19:48: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe FE 08 kommt ein ganz anderes Thema zur
Behandlung:
die Berechung des Volumens einer vierdimensionalen Kugel.
Zunächst sollen die Lösungsmethoden freigestellt sein.
Erwünscht sind möglichst viele Varianten der Herleitung!.
Es ist faszinierend, eine Herleitung von alpha bis omega zu verfolgen.
Später dann sollen einzelne Wegmarken zum Ziel gesetzt werden.
Aufgabe FE 08
Gegeben ist eine vierdimensionale Kugel in einem orthonormierten Koordinatensystems des R4 durch die Gleichung
x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 = r^2
Man berechne das Volumen V4 dieser Hyperkugel.
Resultat
V4 = ½ Pi^2 * r^4
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5023
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. April, 2005 - 09:55: |
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Hi allerseits
Ein folgen ein paar Hinweise zur Volumenberechnung der
Hyperkugel des R4:
x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 = r^2
Wenn wir uns auf nicht negative xj beschränken wollen,
erhalten wir einen Bruchteil des gesuchten Volumens V4
V4 = f * J4; gesucht J4.
Es gilt f = 2^4 = 16,
entsprechend dem Wert 2^3 = 8 beim Kugeloktant im R3.
I.
In einem ersten Anlauf sollen ausschliesslich die rechtwinkligen
(cartesischen) Koordinaten benützt werden.
Wer gerne und erfolgreich Mehrfachintegrale rechnet, wird hier keinerlei Mühe haben.
Ich werde die Mühewaltung Miss Marple überlassen.
II
Die Benützung von Polarkoordinaten ist dem Problem offensichtlich auf eine natürliche Weise bestens angepasst.
Es fragt sich nur, welche vier Formeln im R4 gelten, in
Analogie zu den drei Beziehungen im R3 , welche so lauten:
x1 = rho*cos (phi2)*cos(phi1)
x2 = rho*cos (phi2)*sin(phi1)
x3 = rho*sin (phi2)
Ausserdem muss die Jakobi-Determinante berechnet werden. Ein nicht ganz einfaches, aber lehrreiches Unterfangen.
Auch diese Methode führt zum Ziel.
III
Es soll in einem weitern Gang versucht werden, ob man
dieses Volumen als ein Rotationsvolumen gewinnen kann, analog zur bekannten Berechnung des Kugelvolumens durch Rotation einer Halbkreisfläche. um den Durchmesser.
Auch das geht, wenn der Ansatz dazu gelingt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5024
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. April, 2005 - 10:11: |
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Hi allerseits
Zu Punkt I ; Berechnung mit Maple
F:= sqrt (r^2 - u^2 - v^2 - w^2);
J:= int( int( int( F, u=0..sqrt(r^2-v^2-w^2)),
v = 0.. sqrt( r^2 - w^2 )), w=0..r );
Resultat:
J = 1/32 * Pi^2*r^4.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5025
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 07:43: |
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Hi allerseits
Die in meinem früheren Beitrag erwähnte Polarkoordinatendarstellung
im R4 lautet:
x1 = rho*cos(phi3)*cos (phi2)*cos(phi1)
x2 = rho*cos(phi3)*cos (phi2)*sin(phi1)
x3 = rho*cos(phi3)*sin (phi2)
x4 =rho *sin(phi3)
Kontrolle mit vier speziellen Punkten:
phi1 = 0, phi2=0, pih3 =0 => P(rho/0/0/0)
phi1 = ½ Pi, phi2=0, pih3 =0 => P(0/rho/0/0)
phi1 = 0, phi2=½ Pi, phi3 =0 => P(0/0/rho/0)
phi1 = 0, phi2=0,pih3=½Pi => P(0/0/0/rho)
Mit Hilfe dieser vier Funktionen xj mit je vier Variablen
rho,phi1,phi2,phi3
berechnen wir die Jacobische Funktionaldeterminante
DJ .
Nach geschickten Umformungen entsteht die vereinfachte Form
DJ = (rho)^3 * [cos(phi3)]^2 * cos(phi2)
Damit lässt sich wohl etwas anfangen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5026
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 08:00: |
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Hi allerseits
Die Ausführung des Vierfachintegrals mit Maple sieht so aus:
Mit
f:=(rho)^3*(cos(phi3))^2*cos (phi2);
kommt
J:=int(int(int(int(f,phi3=0..Pi/2),phi2=0..Pi/2),phi1=0..Pi/2),rhrrho=0..r);
Resultat
J = 1/32 r^4 Pi^2,
daraus V = 16* J = ½ r^4*Pi^2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 5027
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. April, 2005 - 11:36: |
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Hi allerseits
Es gibt noch einen weitern Aspekt bei der Ermittlung der Volumina von Hyperkugeln.
Gemeint ist die Frage nach der Rolle der Dimensionszahl n.
Sie wird auch bei Google behandelt; man sehe unter
dem Stichwort „Hyperkugel“ nach.
Der Sachverhalt lautet so:
Es ist zu unterscheiden zwischen geraden und ungeraden Dimensionszahlen.
gerade Dimensionszahl n = 2m:
V(2m) = 1/m! * (Pi)^m * r^(2m)
ungerade Dimensionszahl n = 2m + 1:
V(2m + 1) = 2^(2m+1) m! / (2m+1)! * (Pi)^m * r^(2m+1)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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