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Eva191105 (Eva191105)
Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2005 - 13:57: | 
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Hallo!
Hab hier eine Aufgabe, die mich schon sehr viele Nerven gekostet hat, zu der ich aber keinen Zugang finde...
Wir betrachten M(nxn, IR) als IR-Vektorraum von n*n-Tupeln. Für F€M(nxn, IR) sei F_i die i-te Zeile von F.
Die Funktion f:IR²->IR² sei gegeben durch f(x,y)=( sinx - cosy,-cosx + siny).
1) Zeige: f ist an der Stelle a=(pi/4)(1,-1) lokal umkehrbar. Gib die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung an der Stelle b=f(a) an.
2) Zeige: An der Stelle c=(pi/4)(1,1) verschwindet die Funktionaldeterminante von f und f ist tatsächlich in der Umgebung von c nicht injektiv. (Tipp: Betrachte f((pi/4)+t,(pi/4)-t) für t€IR).
Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen!
Bitte!
Eva |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2005 - 15:33: |
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Eva,
Zur Erinnerung : Ist f(x,y) = (u(x,y),v(xy)), so ist
F(f) := ([ux,uy] , [vx,vy]) (lies zeilenweise)
die Funktionalmatrix von f und
D(f) := det(F(f)) = uxvy - uyvx
die Funktionaldeterminante. Im vorliegenden Falle
rechnest du nach, dass
D(f) = cos x cos y - sin x sin y
= cos (x+y).
Für a = (p/4, -p/4) ergibt sich somit
D(f) = cos 0 = 1.
Die Funktionalmatrix von f-1 ist die Inverse von F:
F(f-1) = (F(f))-1 => D(f-1) = 1/D(f)
Für (x,y) = (p/4, p/4) ist
D(f) = cos (p/2) = 0 . Rechne ferner nach,
dass
f(p/4+t , p/4-t) = (0,0) für alle t € R.
mfG Orion
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