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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4717 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 14:49: |
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Hi allerseits Es erscheint die Aufgabe LF 600. Im Zusammenhang mit einer Berührungsaufgabe mit Kugeln soll die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung analysiert werden. Die Gleichung lautete; 2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0 Welcher Flächentypus wird durch diese Gleichung dargestellt, und welches sind die Hauptdaten der Fläche? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1725 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 21:43: |
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Hi megamath, leider bin ich im Moment nicht im Besitz meiner Unterlagen, aber soweit hab ich es geschafft: Die Quadrik hat keinen Mittelpunkt: dazu löse Grad[F(u,v,w)]=0, dies wird zum LGS: 4u - 40 = 0 -2v - 2w - 2 = 0 -2v - 2w + 62 = 0 Wie man sieht stellen die beiden letzten Gleichungen zwei parallele Geraden dar, also kann das LGS keine Lösung haben! Nun zum quadratischen Term: 2u^2 - v^2 - w^2 - 2vw dessen Matrix lautet: Das charakteristische Polynom dieser Matrix lautet: P(t) = (t-2)(t^2+2t) Also lauten die Eigenwerte T1=2, T2=-2, T3=0. Also müsste es ein hyperbolischer Zylinder sein...aber ich kanns nicht bezeugen! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4720 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 13:01: |
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Hi Ferdi Besten Dank für Deinen Lösungsansatz, der soweit trotz fehlender Unterlagen, richtig ist. Das Unterfangen, eine vollständige Analyse einer Fläche zweiter Ordnung in extenso durchzuführen, ist nicht ganz einfach, sollte aber zur Routine werden. Mittelpunktsfläche oder nicht ? Diese Frage wird man früh beantworten wollen. Deine Antwort ist richtig; es existiert kein MP. Die drei Eigenwerte der quadratischen Form sind richtig ess sind die Zahlen 2,-2,0 Ich empfehle nun, dazu die Eigenvektoren zu ermitteln und die entsprechende orthogonale Koordinatentransformation durchzuführen. Dann wird, nach einer Translation, einiges durchschaubar. Wir könnten uns dann gegebenenfalls auf einen Flächentyp einigen! Inzwischen Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1726 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 14:20: |
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Hi megamath, leider habe ich nicht soviel Zeit, aber die Eigenvektoren habe ich noch auf dem Zettel stehen: zum EW 0 ist ein EV : (0,1,1) zum EW 2 ist ein EV : (1,0,0) zum EW -2 ist eine EV: (0,-1,1) Vielleicht übernimt jetzt einer! Ich wünsche allen einen guten Rutsch ins neue Jahr! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4721 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 17:11: |
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Hi Ferdi Für den Eigenwert 2 habe ich denselben Eigenvektor. Die Eigenvektoren der beiden andern Eigenwerte sollten bei Dir vertauscht werden, habe ich Recht? Mit freundlichen Grüßen H-R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1727 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 21:38: |
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Hi megamath, du hast recht, hab auf die schnelle sogar den Fehler gefunden! Man erkennt ihn an der von mir angegebenen Matrix, sie muss richtig lauten: Ich habe zwei Minus unterschlagen! ==> zum EW 0 ist ein EV (0,-1,1) zum EW -2 ist ein EV (0,1,1) Das reicht für mich dieses Jahr. Mein Kopf nimmt erst nächste Jahr wieder Informationen auf ! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4722 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Dezember, 2004 - 08:06: |
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Hi allerseits Die den drei Eigenwerten L1 = 2, L2 = - 2, L3 = 0 zugeordneten Eigenvektoren lauten: E1 = {1,0,0},E2={0;1:1],E3 ={0;-1;1} Wir benötigen die entsprechenden Einheitsvektoren die normierten EW: e1 = E1 = {1,0,0} e2= 1/sqrt(2))*{0;1:1}, e3 = 1/sqrt(2)*{0;-1;1} Setzt man zur Abkürzung 1/sqrt(2) = m, so entsteht die folgende, zeilenweise zu lesende (3,3) – Transformationsmatrix: T =matrix([[1,0,0],[0,m,-m],[0,m,m]]) Die Spaltevektoren der Matrix sind der Reihe nach die Vektoren e1,e2,e3. Wie man sofort erkennt, ist T, wie es sein muss, eine orthogonale Matrix. Wir drücken mit Hilfe der Matrix T die alten Koordinaten u,v,w durch die neuen Koordinaten U,V,W des gedrehten Systems aus. Die Transformationsgleichungen lauten: u = U v = m V – m W w = m V + m W Die Gleichung von Q lautet im neuen System: 2 U^2 – 2 V^2 – 40 U + 60 m V + 64 m W + 7 = 0 Wie zu erwarten war, gibt es kein gemischtes Glied zweiten Grades V W. Nach wie vor ist m =1/sqrt(2). Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4723 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Dezember, 2004 - 15:29: |
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Hi allerseits Wir befinden uns in einer Warteschlange und sind gespannt auf eine Lösung der Aufgabe LF 600. Welche Fläche kommt wohl in Frage? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1728 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Dezember, 2004 - 15:59: |
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Hi megamath, mein letztes Angebot: ein HYPERBOLISCHES PARABOLOID! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4724 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2005 - 07:16: |
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Hi Ferdi In wenigen Minuten siehst du hier,dass Deine Vorhersage richtig ist. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4725 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2005 - 07:18: |
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Hi allerseits Zuletzt gelangte die Fläche zweiter Ordnung Q zu der folgenden Form ihrer Gleichung: L1*U^2+L2*V^2+L3*z^2+2 B1 U+2 B2 V+2 B3 W = c Die Konstanten Lj, Bj , c lauten: L1 = 2, L2 = - 2 , L3 = 0 (das sind die Eigenwerte) B1 = - 20 , B2 = 30 m, B3 = 32 m mit m = 1/sqrt(2). c= -7 Wir werfen nochmals die Frage nach einem Mittelpunkt der Fläche auf. Dazu müssen nach der einschlägigen Theorie die Mittelpunktskoordinaten U,V,W aus dem folgenden Gleichungssystem ermittelt werden: L1 U……………………. + B1 = 0 ……… L2 V …………… + B2 = 0 ………………..L3 W…..+ B3 = 0 Im vorliegenden Fall sollte gelten: 2 U – 20 = 0 -2 V + 30 m = 0 0 W + 32 m =0 Die letzte Gleichung enthält einen Widerspruch, somit gibt es KEINEN Mittelpunkt! Für weitere Untersuchungen sind die folgenden beiden Matrizen A und B nützlich: Die quadratische Matrix A:= matrix ([[L1,0.0],[0,L2,0],[0,0,L3]]) Die (3,4)-Matrix B:= matrix ([[L1,0.0,B1],[0,L2,0,B2],[0,0,L3,B3]]) Wesentlich für die Analyse sind die Ränge dieser Matrizen. r1 sei der Rang der Matrix A, r2 der Rang der Matrix B. Es gelten die Sätze: 1. Wenn r1 = r2, so ist (mindestens) ein Mittelpunkt vorhanden. 2. Sind r1 und r2 verschieden, so hat die Fläche keinen Mittelpunkt Unterfälle dazu: 2a Gilt r1 = 2 und r2 = 3, so liegt, je nach der Vorzeichenkombination bei den Eigenwerten, ein elliptisches Paraboloid oder ein hyperbolisches Paraboloid vor. 2b Gilt r1 = 1 und r2 = 2, so liegt ein parabolischer Zylinder vor. Quintessenz Für die vorliegenden Daten stellt sich der Fall 2a ein; es liegt ein hyperbolisches Paraboloid vor. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4726 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2005 - 21:15: |
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Hi allerseits Die in meinem letzten Beitrag erwähnten Relationen sollen mit den zu Grunde liegenden Daten bearbeitet werden. Gleichung der Fläche 2 U^2 – 2 V^2 – 40 U + 60 m V + 64 m W = - 7, mit m = 1/sqrt(2). Die quadratische Matrix A und die (3,4)-Matrix B lauten: A:= matrix ([[2,0.0],[0,-2,0],[0,0,0]]) B:= matrix ([[2,0.0,-20],[0,-2,0,30 m],[0,0,0,32 m]]) Ränge dieser Matrizen sind: r1 = Rg(A) = 2 r2 = Rg(B) = 3 Weitere Transformationen der Flächengleichung Durch quadratische Ergänzungen entsteht aus der obigen Version der Gleichung von Q neu: 2 (U - 10)^2 – 2 (V - 15 m)^2 + 64 m W = - 32 Wir führen ein neues Koordinatensystem X,Y,Z ein: X = U – 10; Y = V – 15 m ; Z = W. Diese Transformation entspricht einer Parallelverschiebung. Wir erhalten dadurch die Gleichung 2 X^2 – 2 Y^2^2 + 64 m Z = - 32 Wir schreiben sie so um: X^2 - Y ^2 + 32 m [Z + 1/(2m)] = 0 Wir transformieren zum guten Ende: X = x ; Y = y ; Z + 1 / (2m) = Z + sqrt(2) = z Als Schlusslichter erscheinen die Gleichungen x^2 – y^2 +32 m z = 0 oder x^2 – y^2 + 16 sqrt(2) z = 0 Dies ist unverkennbar die Gleichung eines hyperbolischen Paraboloides. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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