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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4692
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 11:28: | 
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Hi allerseits
Das ballistische Problem scheint eine Geschichte
ohne Ende zu werden.
Daher ist es wohl angebracht, wie PC-Fachleute so
schön sagen, einen neuen Thread, den Faden der Ariadne,
aufzunehmen.
Als erstes soll die Beziehung
(g / f) * 1 / (x°)^2 = - 2 * int [sqrt (1 + p ^ 2) dp] + C……..(I)
hergeleitet werden.
Wir erinnern uns:
p = dy/dx = y°/x° ;
C ist eine Integrationskonstante.
Ausgangspunkt ist das DGL-System
x°° =- f s°x°
y°° = -f s° y° . g
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit – y°°,
die zweite mit x°° und addieren
Das Resultat dividieren wir noch mit (x°)^3
Es entsteht schließlich
(s°/x°) * [(x° y°° - y°x°°] / (x°)^2 = (g/f) [x°° / (x°)^3]
oder:
sqrt [1 +(y°)^2/(x°)^2] *([(x° y°° - y°x°°] / (x°)^2 = (g/f) [x°° / (x°)^3]
mit p = dy/dx = y°/x° kommt
wegen der Quotientenregel, angewendet auf y°/x°:
sqrt [1 + p^2] * dp / dt = (g/f) [x°° / (x°)^3]
Wir formen rechts auch noch ein wenig um, damit wir
besser sehen, bevor wir integrieren:
sqrt [1 + p^2] * dp / dt = - (g /2f) [-2x°° / (x°)^3]
schließlich kommt:
sqrt [1 + p^2] * dp / dt = - (g /2f) d / dt {1 / (x°)^2}
Die Integration liefert
- 2 int [sqrt [1 + p^2] * dp + C = g/f * [1 / (x°)^2]
Damit ist (I) hergeleitet.
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4693
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 14:30: |
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Hi allerseits
Die im letzten Beitrag hergeleitete Formel (I)
lässt sich einfacher schreiben, wenn man, wie erwähnt,
eine Stammfunktion M des unbestimmten Integrals
2 * int [sqrt [1 + p^2] * dp benützt; wir wählten
M = [p + sqrt(1+p^2)]+ ½ ln [p + sqrt(1+p^2)]
In M steckt die Funktion area sinus hyperbolicus,
ein gutes Omen!
Damit erhalten wir Formeln (I*) für
x° und y°:
x° = sqrt(g/f) / sqrt(C-M)……………………………….(I*)
wegen y° = p * x° analog
y° = sqrt(g/f) * p / sqrt(C-M)
Die Integrationskonstante C>0 bestimmen wir aus den
gegebene Daten für x° und p für x = y = 0.
Anmerkung
Das DGL-System lautet, ohne T-Fehler:
x°° = - f s° x°
y°° = - f s° y° - g
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4694
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 22:30: |
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Hi allerseits
Wir wollen nicht auf halbem Weg stehen bleiben.
Daher kehren wir an den Anfang zurück, zum
DGL-System
x°° = - f s° x°
y°° = - f s° y° - g
Die erste Gleichung multiplizieren wir mit – y°,
die zweite mit x° und addieren
Resultat:
x° y°° - y° x°° = - g x°
Division mit (x°)^2 ergibt
[x° y°° - y° x°° ] / (x°)^2 = - g / x° ;
die linke Seite ist gerade die Ableitung von
y°/x° = p nach t;
somit gilt
dp / dt = - g / x°
Gemäß (I*) wird daraus:
dp/dt = [ - g / sqrt(g/f) ] * sqrt(C-M)
Trennung der Variablen gibt
sqrt(f g) * dt = - dp / sqrt(C-M) ,
Integriert:
sqrt(f g) * t = - int [ dp / sqrt(C-M)] + C1.
C1 ist eine Integrationskonstante
Jetzt ist t als Funktion von p dargestellt.
Damit gelingen auch Darstellungen für x und y,
je als Funktionen des Parameters p.
Das soll demnächst in einer Fortsetzung gezeigt werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4695
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Dezember, 2004 - 07:24: |
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Hi allerseits
Es ergeben sich die folgenden Darstellungen für
t, x , y als Funktionen von p = dy/dx = y°/x°:
(1)
t = [ - 1 / sqrt(f g ) ] * int [dp / sqrt(C-M)] + C1.
C1 ist eine Integrationskonstante
(2)
x = [ - 1 / f ] * int [ dp / (C – M)]
(3)
y = [ - 1 / f ] * int [ p dp / (C – M)]
Bemerkungen
Bedeutung von M:
M = [p + sqrt(1+p^2)]+ ½ ln [p + sqrt(1+p^2)]
(1) wurde im letzten Beitrag hergeleitet.
In (2) und (3) können Integrationsgrenzen gesetzt werden:
untere Grenze po, obere Grenze p.
Man bestätigt (2) und (3) durch Differentiation unter
Benützung von (1) und der Beziehungen
dx / dp = dx / dt * dt / dp und
dy / dp = dy / dt * dt / dp
Man beachte noch:
Wegen dp / dt = - g / x° ist das Differential dp stets negativ.
Damit ist ein Ziel erreicht, mühsam, aber immerhin.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
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Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 941
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 10:15: |
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Megamath,
wenn ich in meiner Dgl.:
p'' = fg*sqrt(1+p2)
p' = -g/x' => p'' = gx''/x'2
seitze, komme ich zum selben Resultat.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4696
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 10:33: |
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Hi Orion
Das ist beruhigend und gibt neuen Elan!
Vermutung:
Die ballistische Kurve hat zwei Asymptotebn ,eine vertikale und eine schiefe;
Beweis???
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 942
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 13:56: |
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Bemerkung :
Müsste es nicht
M = p*sqrt(1+p2) + ln[p+sqrt(1+p2)]
heissen ?
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4697
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 14:16: |
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Hi Orion
Ja,natürlich,so sollte es heissen;
2 Tippfehler auf engstem Raum!
Herzlichen Dank.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 943
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 14:42: |
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Noch eine Bemerkung : Wegen x'(t) > 0 sollte
"meine Dgl." richtig
p'' = - fg*sqrt(1+p2)
lauten, also (beachte p(0) = v2/v1,
p'(0) = - g/v1)
p'2 = fg*[C - M(p)] mit
C = M(v2/v1) + g/f/v1,
somit
x'(t) = sqrt(g/f)*[C-M(p)]-1/2 etc.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4698
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 15:59: |
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Hi Orion
Ich habe damit angefangen, FLACHE Bahnkurven zu berechnen.
Der Elevationswinkel a soll genügend klein sein, beispielsweise
soll gelten:
a < 12° oder so ähnlich!
p ist dann genügend klein, sodass wir p^2 gegenüber 1
vernachlässigen könnten.
Wir ersetzen salopp sqrt (1+p^2) durch 1,
und das vereinfacht die Sachlage wesentlich.
Damit wird angenommen, dass nicht nur am Anfang p mit po
diese Bedingung erfüllt, sondern dass diese Voraussetzung
gelten soll längs der Flugbahn, soweit wir uns dafür
interessieren (!).
Die Ausführung muss ich leider aus Zeitgründen abbrechen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
