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Zahlentheoretisches Problem

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Zahlentheorie » Zahlentheoretisches Problem « Zurück Vor »

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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1571
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 17:34:   Beitrag drucken

Hi,

ich habe mal wieder einen Satz entdeckt, aber dieser scheint mir nicht war:

"Jede Zahl größer als 77 ist die Summe natürlicher Zahlen, deren Kehrwerte die Summe 1 ergeben."

Was meint ihr? Habt ihr einen Beweis, bzw Gegenbeweis?

mfg
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2372
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 18:18:   Beitrag drucken

die Zahl sei N
application/pdfzt
zt.pdf (18.3 k)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1500
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 19:14:   Beitrag drucken

Hallo

Man kann es auch noch ein wenig einfacher haben. Anfang wie bei Friedrich. Dann hat man

b=a/(a-1)

a und b sind natürliche Zahlen. Damit b natürlich ist, folgt a=2 und daraus b=2.

Daraus folgt, dass 4 die einzige natürliche Zahl ist, die in zwei Zahlen mit obigen Eigenschaften zerlegbar ist.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 889
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 19:24:   Beitrag drucken

Hab mich schon gewundert, was es mit der 77 auf sich hat

wobei habt ihr berücksichtigt, daß es auch mehr als 2 Summanden sein dürfen?

9 = 3 + 3 + 3 und 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

das läßt vermuten, des ist mit allen Quadratzahlen so;

1/k <-- k-mal ergibt 1
k <-- k-mal ergibt k^2 und damit eine Quadratzahl

Quod erat demonstrandum



Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1572
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 19:32:   Beitrag drucken

Hi Leute,

ich wundere mich, habe ich den Satz doch in dem Buch:

"Die Top Ten der schönsten Sätze der Mathematik"

von Pierre Basieux gelesen.

Am Ende des Buches (S.143) werde die Sätze angegeben, die die TopTen verfehlt haben. Dieser von mir zitierte liegt auf Rang 17.

Kommentar des Buches:
"Ein etwas merkwürdiger zahlentheoretischer Satz,..."

Irgendwas muss ja dran sein. Mainzi hat vielleicht recht, mit Summe kann ja auch gemeint sein, dass man die Zahl in mehr als 2 Summanden aufteilen kann...

mfg
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 890
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 19:46:   Beitrag drucken

Von 2 Summanden hab ich auch nix gelesen

wobei wenns mit der 77 doch was auf sich hat,
wie würde man 79 in Summanden aufsplitten

79 = 4 + 5 + 10 + 20 + 10 + 10 + 10 + 10

1/4 + 1/5 + 1/10 + 1/20 + 1/10 + 1/10 + 1/10 + 1/10 = 1

so vielleicht?


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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 892
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 23:35:   Beitrag drucken

vielleicht hilft das weiter:

für die maximale Anzahl an Summanden s gilt:
s < [sqrt(n)]+1 ... [] gaussklammer

warum?

angenommen
s = [sqrt(n)]+1, dann ergibt sich ein "optimaler" Nenner zu n/s, welcher bei ein paar Summanden aufgerundet und ein paar abgerundet wird; die Summe dieser Summanden ergibt n
aber s/(n/s) > 1 <=> s^2/n > 1 <=> s^2 > n <=> [sqrt(n)]^2+1 + 2[sqrt(n)] > n
wegen k^2 <= n < (k+1)^2 gilt
k^2+1 + 2k > n <=> (k+1)^2 > n
und wegen
1/a + 1/a < 1/(a-1) + 1/(a+1)
2 < a/(a-1) + a/(a+1)
2(a^2-1) < a(a+1) + a(a-1)
2a^2 - 2 < a^2 + a + a^2 - a
2a^2 - 2 < 2a^2
wird damit die Kehrwertsumme noch größer;
daher gilt für die Anzahl der Summanden s: s < [sqrt(n)]+1

Nur wie gehts weiter?
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1502
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Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 12:56:   Beitrag drucken

Hallo

Hat von euch noch jemand weitergerechnet an der Aufgabe? Mir will leider kein Beweis gelingen ;(

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 897
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 15:27:   Beitrag drucken

Für 78 hätt ich ebenfalls eine Zerlegung anzubieten

78 = 24 + 24 + 12 + 12 + 4 + 2

1/24 + 1/24 + 1/12 + 1/12 + 1/4 + 1/2 = 1

weiters ein kleines Progrämmchen, welches rekursiv mittels "brute force" die Zerlegung vornimmt


#include <math.h>

#include <iostream.h>

int nMax;

int check( int nDeep, int nSum, double dblSum, int nVal );

int main( int argc, char* argv[ ] )
{
for ( int n = 78; n < 1000; n++ )
{
int nRet = check( (int) floor( sqrt( (double) ( nMax = n ) ) ) + 1, 0, 0.0, 0 );

cout << "nRet[" << n << "]: " << nRet << endl << endl;

if ( nRet + 1 )
break;
}

return 0;
}

int check( int nDeep, int nSum, double dblSum, int nVal )
{
if ( nDeep < 0 )
return 0;

if ( nVal )
{
nSum += nVal;

dblSum += 1.0 / nVal;
}

if ( nSum == nMax )
if ( dblSum == 1.0 )
return -1;
else
return 0;

if ( nSum > nMax )
return 0;

if ( dblSum > 1.0 )
return 1;

for ( int i = 2; i < 77; i++ )
{
int nRet = check( nDeep - 1, nSum, dblSum, i );

if ( nRet )
{
if ( nRet < 0 )
{
cout << i << endl;

return -1;
}
else
{
continue;
}
}
else
{
break;
}
}

return 1;
}



bis 232 hat er alle gefunden, dann hab' ich abgebrochen, dabei fällt auf daß 108, 216 etwas lange dauern im vergleich zu den anderen;

die 77 ist da aber seltsam, weils bis auf 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 19, 21, 23 für alle nat. Zahlen kleiner als 100 eine Zerlegung gibt;

irgendetwas scheint dran an dem Satz zu sein, nur ich seh' es auch nicht, wie man ihn beweist

Gruß,
Walter}}
Mainzi Man,
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Hansibal (Hansibal)
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Benutzername: Hansibal

Nummer des Beitrags: 46
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Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 19:13:   Beitrag drucken

Hier mal eine untere Schranke, die angibt welche Zahl man noch mit n Stellen darstellen kann, wenn n gerade ist: 2^n + 2^(n-1) - 2, was sehr schnell wächst.

mfg
hansibal
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 898
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 21:15:   Beitrag drucken

Hi Hansibal,

des passt jetzt aber nicht dazu, oder?

Gruß,
Walter
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 899
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 09:41:   Beitrag drucken

Hab mein Programm mal für 500 werkeln lassen:

500 = 252 + 144 + 48 + 42 + 9 + 3 + 2

1/252 + 1/144 + 1/48 + 1/42 + 1/9 + 1/3 + 1/2 = 1
(sieht man jetzt auf ersten Blick )

252 = 2^2 * 3^2 * 7
144 = 2^4 * 3^2
48 = 2^4 * 3
42 = 2 * 3 * 7
9 = 3^2

kgV = 1008

(4 + 7 + 21 + 24 + 112 + 336 + 504)/1008 = 1

bei 750 liefert es folgendes:

750 = 252 + 189 + 189 + 108 + 7 + 3 + 2

[bei 500 rechnete es ein Vielfaches der Zeit, die
es für 750 brauchte ]

Gruß,
Walter

p.s. ob er bei 1000 jemals fertig wird, oder ob hier bereits numerische Probleme auftauchen (Gleitkommazahlen!) wird sich zeigen.
hab' einen Fehler ausgebessert, welcher sich erst bei Zahlen > 150 auswirkte;
aktualisierter Quellcode
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Hansibal (Hansibal)
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Benutzername: Hansibal

Nummer des Beitrags: 47
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 10:59:   Beitrag drucken

Hi,

wieso passt das icht dazu?
Also folgendes hab ich jetzt:
Sei s(a1,a2,a3...,an) darstellbar, dass heißt a1+a2+a3..+an = s und 1/a1+1/a2+..1/an = 1,
dann ist für auch die Zahl s + ai^2 + ai + 1 darstellbar, für ein beliebiges ai aus a1- an.

mfg
hansibal
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 900
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 11:35:   Beitrag drucken

dieser Satz soll für alle nat. Zahlen größer 77 gelten; ab einer gewissen Zahl soll es möglich sein, zu zeigen, daß ein ai = 2 sein muß; da es 7 Zahlen hintereinander gibt mit jeweils einem ai = 2, kannst Du an Hand Deiner These auf alle n>77 aus IN schlißen; nur wie kommst Du auf das mit s + ai^2 + ai + 1?

"Hier mal eine untere Schranke, die angibt welche Zahl man noch mit n Stellen darstellen kann, wenn n gerade ist: 2^n + 2^(n-1) - 2, was sehr schnell wächst." das meinte ich, daß nicht dazupasst.

Gruß,
Walter
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1505
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 12:25:   Beitrag drucken

Hallo

ab einer gewissen Zahl soll es möglich sein, zu zeigen, daß ein ai = 2 sein muß;

Damit wird man sicher nicht weiter kommen. Bei den Quadratzahlen zum Beispiel muss ja keine 2 vorkommen.


MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 901
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 13:09:   Beitrag drucken

Christian, das ist es ja was mich so verblüffte;
ich hatte ja oben eine "Schnellösung" bei Quadratzahlen vorgeschlagen; und der Durchlauf meines Programms kamen da ganz andere Lsg. zum vorschein:

121 = 45 + 36 + 20 + 15 + 3 + 2

1/45 + 1/36 + 1/20 + 1/15 + 1/3 + 1/2 = 1
(4 + 5 + 9 + 12 + 60 + 90)/180 = 1

121 = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11
11*(1/11) = 1

nicht auszuschließen, daß es mehrere Lsg. bei einer Zahl gibt; und genügt ja eine, und wir nehmen die mit der 2

Mainzi Man,
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Hansibal (Hansibal)
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Benutzername: Hansibal

Nummer des Beitrags: 48
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 13:24:   Beitrag drucken

Hallo,

hier mal der (hoffentlich richtige Beweis):

Also s habe eine Darstellung (a1,a2,a3..an).
man verwende die Identität 1/a = 1/(a+1) + 1/(a*(a+1)) auf ai. Nach wie vor, wegen der Identität ist die Summe der Reziproken 1. In der Summe von s kommt allerdings ai weg und es kommt ai+1+ai^2+ai dazu, also ai^2 + ai + 1.
Leider geht Mainzimans Vorschlag nicht, weil bei dieser Darstellung die 2 dann nicht mehr in der Liste (a1, a2,..an) enthalten ist.
Geht nur solange es da ist :-(.

mfg
Hansibal
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1506
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 13:25:   Beitrag drucken

Hallo Mainzi :-)

nicht auszuschließen, daß es mehrere Lsg. bei einer Zahl gibt; und genügt ja eine, und wir nehmen die mit der 2


Aber dann kommen wir ja wieder nicht weiter.

Wir hätten den Satz gebraucht:
Gilt
s=a1+...+an ³ N (N fest vorgegeben)
mit 1/a1+...+1/an=1, so folgt, dass mindestens eins der ai=2 ist.

Das gilt aber leider für kein N.

So müssten wir ja folgendes haben: Finde ein N aus N, sodass für jedes s³N eine Darstellung obiger Form existiert, wobei mindestens ein ai=2 ist. Das ist ja im Prinzip noch eine stärkere Aussage als die ursprüngliche. Und davon fehlt ja immer noch ein Beweis ;)

MfG
Christian

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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 902
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 13:56:   Beitrag drucken

hier mal die Offenbarung meines Proggies aller Zahlen von 41 bis 224

http://nopaste.php-q.net/81813



Ach, Christian, Hansibal hat ma die Theorie zerstört

1/a = 1/(a+1) + 1/(a*(a+1)) <-- das ist gut

1/a = 1/(a-1) - 1/(a*(a-1)) <-- wie wärs mit dem?

ich nehm a weg und addiere (a-1)-(a^2-a) = -a^2+2a-1 = -(a-1)^2

Wenn es für s eine Zerlegung gibt,
dann auch für s - ai - (ai-1)^2, da es genügend Beispiele gibt, bei denen ein ai bei s und bei s-3 die 2 ist; ist damit ja gezeigt, daß es eine weitere momentan noch unbekannte Lsg. für s-3 geben muß;

Gruß,
Walter
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1507
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 14:04:   Beitrag drucken

Hallo Walter

1/a = 1/(a-1) - 1/(a*(a-1)) <-- wie wärs mit dem?


Das geht nach Voraussetzung nicht :-(

Wir brauchen ja natürliche Zahle und die Summe ihrer Kehrwerte. Hier haben wir bei den Kehrwerten aber das "-", also keine Summe. Oder man schreibt
1/(a-1) - 1/(a*(a-1))
=1/(a-1) + 1/(a*(1-a))

Dann ist aber a*(1-a) keine natürliche Zahl, was auch nicht sein darf.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 903
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 14:40:   Beitrag drucken

Ach Du Schande hatte ich gerade nicht beachtet

wie verhext diese Aufgabe

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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1508
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 14:43:   Beitrag drucken

Hallo nochmal

Ich will hier auch mal meine Ansätze posten.

Jede natürliche Zahl lässt sich darstellen als Summe von höchstens vier Quadraten. (*)

Eine natürliche Zahl ist genau dann Summe von vier Quadraten (ungleich 0), wenn sie von der Form 4k*(8m+7) ist mit k,m € N0.

Ich kann beweisen, dass jede Zahl 4k*(8m+7) mit k>0, m € N0 sich wie gewünscht zerlegen lässt.

Den Fall, das unsere Zahl die Form 8m+7 hat, kann ich leider nicht beweisen. Es könnte vielleicht mit Induktion funktionieren.

Es gibt einen ähnlichen Satz, wann eine natürliche Zahl Summe von 2 Quadraten (ungleich 0) ist, womit man wieder einige Zahlen erhält, die sich wie gewünscht aufspalten lassen.

Man müsste halt jeden Fall einzeln betrachten. D.h. unsere Zahl ist ein Quadrat, Summe von 2 Quadraten, 3 Quadraten oder 4 Quadraten.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1231
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 17:42:   Beitrag drucken

Hi,

Es gibt einen ähnlichen Satz, wann eine natürliche Zahl Summe von 2 Quadraten (ungleich 0) ist, womit man wieder einige Zahlen erhält, die sich wie gewünscht aufspalten lassen.


Ja, das ist der sogenannte "2 Quadrate Satz von Fermat". Er besagt:

Eine natürliche Zahl n kann genau dann als Summe von 2 Quadratzahlen dargestellt werden, wenn, wenn jeder Primfaktor der Form p=4m+3 in der Primfaktorzerlegung von n mit geraden Exponenten auftritt.

4k*(8m+7)=4k*(2*(4m+3)+1)

anscheinend spielen die Primfaktoren der Form 4m+3 eine Rolle....

Gruß N.}}

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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1514
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 17:55:   Beitrag drucken

Hallo Niels

Eine natürliche Zahl n kann genau dann als Summe von 2 Quadratzahlen dargestellt werden, wenn, wenn jeder Primfaktor der Form p=4m+3 in der Primfaktorzerlegung von n mit geraden Exponenten auftritt.


Genau, das hatte ich gemeint.

Aber ich glaube meine Beweisidee wird auch nicht zum Ziel führen...

Wir wissen dummerweise ja auch gar nicht wie schwer es überhaupt ist, die Behauptung zu beweisen :-)
Sieht man dem Problem ja nicht an und es ist auch nicht aus einem Lehrbuch...

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 18:25:   Beitrag drucken

ich hab ein wenig mit dem 8m+7 gespielt, und seltsamerweise sind da die ersten 3 Zahlen nicht möglich: für 7, 15 und 23 existieren keine dieser Zerlegungen;

ein Hammer wärs ja auch nur ein einziges Gegenbeispiel zu finden
Mainzi Man,
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Christian_s (Christian_s)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 18:30:   Beitrag drucken

Hallo Mainzi

Das hatte ich auch gemacht, deshalb mein Vorschlag mit der Induktion. Man müsste halt zeigen können, dass 8(m+1)+7 zerlegbar ist, wenn 8m+7 zerlegbar ist.
Dann würden nämlich die ersten die Fälle m=0, m=1 und m=2 keine Rolle mehr spielen. (Also Induktionsanfang m=3)

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1232
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 20:20:   Beitrag drucken

Ich habe mal bei Mathworld nach den 4 Quadrate Satz geschaut, erstaunlicherweise kommt da genau die Formel wie wir sie oben hatten 4k*(8m+7) zum vorschein.

http://mathworld.wolfram.com/LagrangesFour-SquareTheorem.html

oder wie bist du auf Zahlen dieser Form gestoßen?

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1233
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 20:22:   Beitrag drucken

Wieso gilt eigentlich der Satz ab 77?

warum funktioniert das nicht bei früheren Zerlegungn?

Gruß N.
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 20:40:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

wie zeigst Du die Zerlegbarkeit, wenn sich die Zahl als Summe 2er Quadratzahlen darstellen läßt?

mein Proggi scheint die Lsg. auszuspucken, welche
ein Minimum an Summanden haben, habs jetzt mit Zahlen ab 225 bis über 400 beschäftigt, dabei sticht ins Auge, daß 250, 332, 349, 350, 370, 372, 377, 384, 393 und 416 acht Summanden haben und alle anderen 7 und weniger;
weiters daß alle die 2 und die 3 als Summanden haben;
vielleicht kann man ja damit etwas anfangen?

Gruß,
Walter

Mainzi Man,
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 20:45:   Beitrag drucken

Hi Nils,

das mit der 77 ist mir auch spanisch vorgekommen

Gruß,
Walter


(Beitrag nachträglich am 01., September. 2004 von mainziman editiert)
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. September, 2004 - 08:20:   Beitrag drucken

Hier nochmal was zum 4 quadrate Satz:

http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfLagrangesFourSquareTheorem.html

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. September, 2004 - 15:48:   Beitrag drucken

wie zeigst Du die Zerlegbarkeit, wenn sich die Zahl als Summe 2er Quadratzahlen darstellen läßt?


Ich hatte nur einen Beweis geführt für einen Teil solcher Zahlen. Allerdings ist mir dabei ein Fehler unterlaufen.

Oben hatte ich geschrieben:
Es gibt einen ähnlichen Satz, wann eine natürliche Zahl Summe von 2 Quadraten (ungleich 0) ist.

Das ungleich 0 muss leider weg ;)

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 12:02:   Beitrag drucken

1000 = 364 + 364 + 182 + 78 + 7 + 3 + 2

1/364 + 1/364 + 1/182 + 1/78 + 1/7 + 1/3 + 1/2 = 1
( ist doch sofort einsichtig, oder? )

1/364 + 1/364 + 1/182 + 1/78 + 1/7 + 1/3 + 1/2 =
2/364 + 1/182 + 1/78 + 1/7 + 2/6 + 3/6 =
1/182 + 1/182 + 1/78 + 1/7 + 5/6 =
2/182 + 1/78 + 6/42 + 35/42 =
1/91 + 1/78 + 41/42 =
(6+7+13*41)/(2*3*7*13) =
(13+13*41)/(2*3*7*13) =
(1+41)/(2*3*7) = 1

rund 40 sec. Rechenzeit

Wie kommt man von Hand auf derartige Zerlegung?
( da wird man ja alt dabei *gg* )



Gruß,
Walter
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1235
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 14:53:   Beitrag drucken

HI Mainzi,

hast du dein Programm optimiert?

wie sieht es mit einen neuen Quellcode aus?

Aber eins sieht man schon. Wie genial die Leute wohl gewesen sein müssen, die diesen "Satz" bewiesen haben- ohne Computer!

Ich ziehe meinen Hut vor diesen Leuten!

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1236
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 14:58:   Beitrag drucken

Ich habe das Gefühl das die Aufgabe mit dem Waring- Problem zu tun hat oder zumindest in Verbindung steht.

definition.htm,http://www.matheboard.de/lexikon/Waringsches_Problem,definition.htm
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 908
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 15:17:   Beitrag drucken

der URL haut nicht hin?

hier http://nopaste.php-q.net/82167
hab ich eine aktualisierte Variante
=> 2fkt. eine mit floating point und eine welche mit einem Bruch arbeitet; weil die Numerik bei größeren Werten nicht mehr hinhaut;

der ggT muß nicht jedesmal gemacht werden =>
optimierungspotential, dann ist diese schneller als mit floating point;

Gruß,
Walter
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1527
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 18:38:   Beitrag drucken

Hallo Walter

Beim Link von Niels wird irgendwie immer das Ende weggelassen, wenn man draufklickt. Also der teil ",definition.htm" fehlt, dann gehts.

MfG
Christian

@Ferdi: Hat dein Satz vielleicht noch irgendeinen speziellen Namen. Dann könnte man vielleicht besser danach suchen im Internet.
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1585
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 19:33:   Beitrag drucken

Hi CHristian,

wie gesagt, der Satz steht einfach so da im Buch:

"Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze"

von Pierre Basieux.

Die Zeitung "The Mathematical Intelligencer" machte 24 Vorschläge, und unser Satz hier kam halt auf Platz 17. Mehr weiß ich leider auch nicht!

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 20:01:   Beitrag drucken

Hallo :-)

Habe nun endlich was im Internet gefunden.
http://mathworld.wolfram.com/EgyptianNumber.html
Es scheint wohl so zu sein, dass sich die 77 doch irgendwie zerlegen lässt. Vielleicht kann Walter das nochmal prüfen.

Die 77 kommt erst dann ins Spiel, wenn die Nenner bei der Zerlegung alle verschieden sein sollen.


Außerdem habe ich noch das hier gefunden:
http://membres.lycos.fr/mathevet/bons.pdf
Das ist leider französisch. D.h. ich verstehe so gut wie kein Wort, weil ich kein französisch in der Schule hatte. Mir sieht es aber nach einem Beweis dafür aus, dass alle Zahlen größer als 23 ägyptische Zahlen sind. Vielleicht kann sich das ja mal einer von euch durchlesen und hier mal zusammenfassen wie ein Beweis funktioniert.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 21:44:   Beitrag drucken

Na, da ist doch die Lösung!!!

Jetzt müsste jemand den Graham besorgen und wir wissen es wie es bewiesen wird.

Gruß N.
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Hansibal (Hansibal)
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Nummer des Beitrags: 49
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 12:08:   Beitrag drucken

Auf Mathwolrd findet man auch die Identität 1/a = 1/(a+1) + 1/a*(a+1). Die gibts schon seit Fibonacci.

mfg
Hansibal
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Christian_s (Christian_s)
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 14:10:   Beitrag drucken

Hallo

Ich habe die Sachen auf der französischen Seite jetzt zu einem großen Teil verstanden. Die meisten Sätze dort befassen sich damit, wie man aus gegebenen ägyptischen Zahlen neue bekommt. Wir brauchen nur ein paar davon.

Zunächst sei mit A die Menge der ägyptischen Zahlen bezeichnet. Wir zeigen, dass jede Zahl größer als 23 ein Element von A ist. Dafür brauchen wir 2 Hilfssätze.

Lemma 1: Seien n1,...,nm aus A und m eine positive natürliche Zahl. Dann ist m*(n1+...+nk) ein Element von A.

Beweis: Sei Skr i=1 1/nri = 1
und Skr i=1 nri = nr mit 1£r£m

Dann gilt
1/m*Sk1 i=1 1/n1i +...+ 1/m*Skm i=1 1/nmi
woraus sofort das Lemma folgt.

Lemma 2: Ist n aus A, so sind auch 2(n+1) und 2n+9 aus A.

Beweis: Der erste Teil folgt wegen 1€A aus Lemma 1, den zweiten sieht man wie folgt:
1/6+1/3+1/2*Sk i=1 1/nk = 1 mit einer geeigneten Zerlegung n=n1+...+nk von n.
Also 2n+3+6=2n+9 aus A.

So, nun zu unserem Satz.

Jede Zahl größer als 23 ist eine ägyptische Zahl.

Beweis: Wir setzen hier erstmal voraus, dass jede Zahl aus {24,25,...,60} in A liegt. Das lässt sich ja mit Walters Programm zeigen. Auf der französischen Seite steht auch eine Tabelle mit geeigneten Zerlegungen.

Wir behaupten nun, dass jede Zahl 60+k in A liegt, wobei k eine natürliche Zahl ist. Wir wenden Induktion an.

Der Fall k=0 ist klar. Sei also 60+k Element A. Es bleibt zu zeigen, dass 60+(k+1) in A liegt.

Man unterscheidet 2 Fälle:

1) 60+k+1 ist gerade, dann ist
N=(60+k+1)/2-1 eine natürliche Zahl mit
24£N£60+k. Nach Voraussetzung liegt damit N in A. Wegen 60+k+1 = 2(N+1) liegt dadurch wegen Lemma 2 aber auch 60+k+1 in A.

2) 60+k+1 ist ungerade. Dann ist M=(60+k+1-9)/2 eine natürliche Zahl und 24£M£60+k, also ist M nach Voraussetzung aus A. Wieder wegen Lemma 2 folgt, dass
60+k+1=2M+9 in A liegt.

Damit ist der Satz bewiesen.

Ich denke mal der Satz mit den "strictly Egyptian numbers" ist deutlich schwieriger zu beweisen. Aber wenn einer an das Buch von Graham drankommt, dann könnte er einen Beweis ja hier mal posten.

MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 14:53:   Beitrag drucken

Hallo

Ich sehe gerade, dass ich bei ersten Lemma im Beweis ein "=1" vergessen habe in der vorletzten Zeile.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 21:01:   Beitrag drucken

Christian, das mit strengen ägypt. und "normalen" ägypt. Zahlen macht dann die Sache mit 77;

77 ist keine strenge ägyptische Zahl; wobei die Frage ist dann, was ist wenn ich mehrere dieser Zerlegungen für eine Zahl habe wie z.B. es unter
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/board-auth.cgi?file=/4244/358730.html#POST14 6850 steht; ist 121 jetzt streng ägyptisch oder nur "normal" agyptisch?
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 21:22:   Beitrag drucken

Für 77 hab ich 2 Lösungen anzubieten

77 = 36 + 18 + 12 + 4 + 4 + 3
77 = 18 + 12 + 12 + 12 + 12 + 9 + 2

Gruß,
Walter


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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 22:38:   Beitrag drucken

Für 2500 hätt ich noch eine Zerlegung anzubieten

2500 = 840 + 616 + 594 + 378 + 60 + 7 + 3 + 2

1/840 + 1/616 + 1/594 + 1/378 + 1/60 + 1/7 + 1/3 + 1/2 = 1

"nur" 358 sec. Rechenzeit


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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1238
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 22:40:   Beitrag drucken

HI Mainzi,

121 ist streng Ägyptisch, denn es gibt ja eine Zerlegung

121 = 45 + 36 + 20 + 15 + 3 + 2

1/45 + 1/36 + 1/20 + 1/15 + 1/3 + 1/2 = 1
(4 + 5 + 9 + 12 + 60 + 90)/180 = 1

Wo also alle Nenner voneinander verschieden sind.

Bei der 77 ist das anders, entweder kommt dort in deinen Zerlegungen mehrfach die 12 oder mehrfach die 4 vor.

Das ist der Unterschied zwischen "normal ägyptisch" und "streng ägyptisch".

Normal ägyptisch:

Es gibt für n eine Zerlegung so das die Summer der Kehrwerte 1 ist.

streng ägyptisch:

Es gibt eine Zerlegung (wo sogar alle Zahlen verscheiden sind) und die Summe der Kehrwerte gleich 1 ist.

Das es unter umständen mehrere Zerlegungen gibt spielt keine Rolle. Wichtig ist nur das es eine entsprechende Zerlegung gibt!

Gruß N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 912
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Veröffentlicht am Sonntag, den 05. September, 2004 - 14:14:   Beitrag drucken

Hi Niels,

dann ist es ja schwieriger zu zeigen, daß wenn eine Zahl ägyptisch ist, daß sie nicht streng ägyptisch ist, weil es ja keine Zerlegung geben darf, sodaß die strenge ägyptische Eigenschaft zutrifft;

Gruß,
Walter
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1239
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Veröffentlicht am Sonntag, den 05. September, 2004 - 17:24:   Beitrag drucken

Hi Mainzi,

in der Tat, so ist es!

normal ägyptisch ist nicht das Problem, aber zu entscheiden ob streng ägyptisch oder nicht....


Gruß N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 913
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Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 2004 - 16:42:   Beitrag drucken

Hab mein Programm wieder etwas werkeln lassen,

http://nopaste.php-q.net/82764 <-- da gibts den aktuelle Quellcode, der ggT wurde beschleunigt;

d
c
c
b
a
nRet[n]: -1 <-- -1 ... n ist eine ägypt. Zahl
mit a, b, c, d als Zerlegungs-Summanden


744
434
248
62
7
3
2
nRet[1500]: -1 <-- streng ägyptisch

528
336
336
336
77
7
3
2
nRet[1625]: -1 <-- streng ägyptisch??

1224
238
204
72
7
3
2
nRet[1750]: -1 <-- streng ägyptisch

1265
322
210
66
7
3
2
nRet[1875]: -1 <-- streng ägyptisch

552
528
506
336
66
7
3
2
nRet[2000]: -1 <-- streng ägyptisch

1107
574
378
54
7
3
2
nRet[2125]: -1 <-- streng ägyptisch

741
546
546
342
63
7
3
2
nRet[2250]: -1 <-- streng ägyptisch??

2341891 millisec.

Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1240
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 2004 - 18:10:   Beitrag drucken

Hi Mainzi,

sucht dein Programm generell Zerlegungen oder kann es auch schon zwischen normal ägyptisch oder streng ägyptisch unterscheiden?

Übrigens ich war auf dem Weg zu meiner lokalen UB um nach dem "Graham" zu schauen und musste erstaunt feststellen, das die UB bis zum 1.10 dicht hat.

Gruß N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 914
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 2004 - 18:31:   Beitrag drucken

Hi Niels,

Das Programm sucht generell Zerlegungen; ich wüßte eigentlich gar nicht wie ich zwischen der strengen agyptischen und der normalen ägyptischen Eigenschaft unterscheiden würde, zumal ich ja nicht alle Zerlegungen kenne; einzig, wenn die eine Zerlegung die strenge ägyptische Eigenschaft aufweist, ist sie streng ägyptisch, mehr kann ich dazu nicht sagen;

Gruß,
Walter
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1241
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 2004 - 21:18:   Beitrag drucken

Hi Mainzi,

aha, könntest du auch irgendwie mal eine ".exe" Datei deines Programmes hier reinstellen (mir per mail schicken) ich habe auf meinem Windows XP Rechner kein C- compiler.

Und ich wollte mir auch mal zerlegungen anschauen....

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1543
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. September, 2004 - 13:16:   Beitrag drucken

Hallo

Hab mir grad auch mal überlegt, wie man ein Programm für ägyptische Zerlegungen aufbauen könnte(Also nur für die normalen ägyptischen Zerlegungen). Hab leider keine Ahnung vom Programmieren, von daher poste ich hier mal die Idee. Sie beruht auf dem Beweis von oben.

Zunächst einmal sei eine beliebige natürliche Zahl n0>23 vorgelegt, von der wir die ägyptische Darstellung haben wollen.
Wir führen jetzt folgende Operationen aus:
Operation 1) Ist n0 gerade, so setze n1=n0/2-1
Operation 2) Ist n0 ungerade, so setze n1=(n0-9)/2

Das gleiche macht man jetzt mit der Zahl n1 usw. Das ganze geht so lange bis man eine Zahl nk hat, die kleiner gleich 60 ist. Man sollte nun für die Zahlen 24 bis 60 eine Zerlegung vorliegen haben. Danach zerlegt man die Zahl nk.
Jetzt geht man rückwärts vor. Voher hat man ja eine Reihe von Operationen durchgeführt. Zum Beispiel in der Reihenfolge 1,1,2,1,2,1 .
Man fängt jetzt von hinten an.
1 bedeutet: Nehme die Zerlegung und multipliziere jeden Wert mit 2 und füge noch die 2 hinzu.
2 bedeutet: Nehme jeden Wert der Zerlegung mal 2 und füge noch 3 und 6 hinzu.

Am Ende hat man dann eine Zerlegung der Zahl n0.

Beispiel. n0=200

Die Zahl ist gerade, also Operation 1 und man hat
n1=99

Die Zahl ist ungerade, also Operation 2 und man hat n2=45

Das ist kleiner als 61 und wir kennen eine Zerlegung. Z.B.

45=2+4+9+12+18
So, als letztes hatten wir Operation 2 durchgeführt, also jeden Wert mal 2 und 3 und 6 addieren. Man hat
4+8+18+24+36+3+6
Jetzt kommt Operation 1 an die Reihe. Also mal 2 und plus 2:
n0=8+16+36+48+72+6+12+2
Das ist eine ägyptische Zerlegung.

Der Vorteil an diesem Verfahren ist, dass der Aufwand kaum wächst. Für eine doppelt so große Zahl braucht man praktisch nur einen Schritt mehr.

Hier mal als Beispiel eine Zerlegung von 100000:

100000=16384+16384+16384+16384+8192+8192+6144+3072+3072+1536+1536+768+768+384+384+192+64+48+32+24+24 +12+12+6+2
:-)

Lässt sich sowas umsetzen?

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. September, 2004 - 13:29:   Beitrag drucken

Hi Christian,

der Algorithmus läßt sich sehr trivial umsetzen,
einzig notwendig ist eine Tabelle mit den Zerlegungen von 24 bis 60; Operationen 1 und 2 werden jeweils auf einen Stack gelegt; von der verbleibenden Zahl wird eine Zerlegung genommen und dann der Stack abgearbeitet;

werd' das in mein Programm hinein"stricken"

ein Link auf den Quellcode folgt dann in ein paar Stunden;



Gruß,
Walter
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. September, 2004 - 14:47:   Beitrag drucken

Hier ist der komplette Quellcode
http://nopaste.php-q.net/82988



Gruß,
Walter

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