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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1222
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 2004 - 13:28: | 
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Hi Leute,
ich will folgende Aussage Über Hölderstetige Funktionen möglichst allgemein beweisen:
Behauptung:
Ist eine Funktion f Hölderstetig mit Hölderexponent größer als 1, so ist f konstant.
Die Lösung des Problems liegt in der richtigen Anwendung des Mittelwertsatzes,bzw. der "Mittelwertungleichung".
eine Lösung des Spezialfalles (Exponent ist 2) findet man hier
Mir sind nur die Formulierungen dort zu Lax, ich differenziere gerne auf belibigen Banachrümene, mit konvexen, offen Umgebungen, etc, Daher fällt es mir schwer den Beweis von dieser Seite erstmal zu verallgeminern.
kann mir jemand dabei helfen???
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1223
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 14:48: |
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Hat keiner eine Lösungsidee???
N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1224
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. August, 2004 - 14:37: |
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Ich warte, scheint doch nicht so eine einfache Aufgabe zu sein....
N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1226
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. August, 2004 - 14:09: |
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ich warte und will nur verhindern, das diese Geschichte in das Archiv verschwindet |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1227
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. August, 2004 - 14:48: |
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Tschä Herschaften,
was ist los???
Ich bin gerade von einem 5 tägigen Kurzurlaub zurück und sehe verwundert das sichniemand für diese Aufgabe zu interessieren scheint...
Gruß N. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1466
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 11:04: |
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Hallo Niels
Was hältst du hiervon:
Sei f:X->Y eine differenzierbare Funktion. X,Y seien Banachräume, X offen und konvex.
Weiter sei f Hölderstetig mit Hölderexponent a>1, also
||f(x)-f(y)||£C||x-y||a
Da f differenzierbar ist, existiert eine Abbildung r mit lim(h->0) r(h)/||h|| = 0 und
f'(x)h=f(x+h)-f(x)-r(h)
Damit folgt
0£||f'(x)h||=||f(x+h)-f(x)-r(h)||£||f(x+h)-f(x)||+||r(h)||£C||h||a+||r(h)||
Teilen durch ||h|| ergibt:
0£||f'(x)h||/||h||£C||h||a-1+||r(h)||/||h||
Es gilt a-1>0, also lim(h->0)C||h||a-1 = 0
Und nach Voraussetzung auch lim(h->0)||r(h)||/||h|| = 0
Also folgt
lim(h->0) ||f'(x)h||/||h|| = 0
Per defintionem gilt
||f'(x)|| = sup(h¹0) ||f'(x)h||/||h||
Definiere die Folge (gn) in X so, dass
|(||f'(x)||-||f'(x)gn||/||gn||)| < 1/n
Definiere nun die Folge (hn) durch hn=bngn, wobei die bn Skalare sind und ||hn||=|bn| ||gn|| < 1/n gelten soll.
Damit gilt
||f'(x)hn||/||hn||=||f'(x)bngn||/||bngn||
=|bn|*||f'(x)gn|| /[|bn|*||gn||]
=||f'(x)gn||/||gn||
Also
lim(n->¥) |(||f'(x)||-||f'(x)hn||/||hn||)|
=lim(n->¥) |(||f'(x)||-||f'(x)gn||/||gn||)|
=0
Außerdem ist (hn) ein Nullfolge, womit
lim(n->¥) ||f'(x)hn||/||hn|| = 0 folgt, also ||f'(x)||=0, was f'(x)=0 impliziert. Damit ist f konstant.
MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1228
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. August, 2004 - 10:09: |
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Hi Christian,
Toller Beweis!!!!
Ich muss ihn mir noch genau zu Gemüte führen und durchgehen. Aber ich will dir jetzt schon dafür danken.
Falls ich noch fragen haben sollte melde ich mich!
Vielen Dank nochmal!
Gruß N. |
