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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1164
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 20:41: | 
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Hi Leute,
wieder mal habe ich hier 2 Aussagen zum Thema Kompaktheit und Stetigkeit:
Vor: (X,dX),(Y,dY) metr. Räume,f:X->Y,f stetig.
Beh:
a) f ist stetig, wenn f kompakte Teilmengen von X auf kompakte Teilmengen von Y abbildet.
b) Ist f stetig, so bildet f kompakte Teilmengen von X auf kompakte Teilmengen von Y ab.
Beide Aussagen klingen ähnlich aber es gibt wahrscheinlich einen entscheidenden Unterschied, nur welchen?
Vom Gefühl her würde ich sagen das b) richtig, und a) falsch ist. Das ist aber nur ein defuses Gefühl was ich nnicht begründen kann....
Kann da bitte jemand vielleicht weiterhelfen?
Gruß N.
Beh: |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1441
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 11:35: |
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Hi Niels
Ich würde mal folgendes vorschlagen.
a) Definiere f: R->R durch
f(x)=1 für x³0
f(x)=0 für x<0
Dann ist das Bild einer kompakten Teilmenge K von R immer von der Form
f(K)={0}
f(K)={1}
f(K)={0,1}
Die drei Mengen sind kompakt in R. Also bildet f kompakte Teilmengen von R auf kompakte Teilmengen von R ab. f ist aber nicht stetig.
[Ich denke mal bei a) muss das f ist stetig bei der Voraussetzung gestrichen werden, sonst macht die Aussage irgendwie keinen Sinn]
b) Die Aussage habt ihr sicher schonmal bewiesen, dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen wieder kompakt sind. Wenn nicht können wir das hier auch gerne noch tun.
MfG
Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1167
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 14:25: |
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Doch, doch, die Formulierung bei a) entspricht der auf meinem Übungszettel, deswegen kam mir das auch merkwürdig vor.
Da steht wörtlich:
f:x->Y ist stetig, wenn f kompakte Teilmengen von X auf kompakte Teilmengen von Y abbildet.
An den Satz:
"stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt"
der bekannt ist habe ich auch gedacht, nur die Formulierungen schienen so ähnlich zu sein, das ich mir nicht sicher war...
Mein Gefühl scheint aber richtig gewesen zu sein, und deine Funktion ist ein hübsches Gegenbeispiel...
Gruß N. |
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