| Autor |
Beitrag |
    
Peterfrank (Peterfrank)
Junior Mitglied
Benutzername: Peterfrank
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Mai, 2004 - 18:56: | 
|
Hallo,
ich habe mit folgender Aufgabe riesen Probleme. Ich weiß garnicht wie ich anfangen soll... Hoffentlich kann einer von Euch was damit anfangen.
Hier die Aufgabe:
Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen, ohne die Kenntnis der
Ableitung von arcsin(x) bzw. ln(x) zu verwenden!
a) f(x) = arctan 3.Wurzel x
a) f(x) = ln(x + Wurzel x² + 1)
Hinweis: Berechnen Sie zu f(x) erst die Umkehrfunktion g(x) und dann d/dx g(f(x)) |
Integralgott (Integralgott)
Junior Mitglied
Benutzername: Integralgott
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juni, 2004 - 02:05: |
|
Hallo!
Wenn schon ein Hinweis da ist, sollte man ihn auch befolgen.  Das Schöne dabei ist, dass natürlich immer gilt:
g(f(x)) = x
d/dx g(f(x)) = 1
Die Umkehrfunktion bestimmt man vereinfacht gesagt, indem man x und y vertauscht und dann nach y auflöst.
a)
g(x) = (tan x)³
g(f(x)) = x = (tan [arctan [x^(1/3)]])³
Nun mit der Kettenregel, dabei ist die innerste Ableitung gerade die gesuchte Ableitung f'(x):
d/dx g(f(x)) = 1 = 3*(tan [arctan [x^(1/3)]])²*(1+(tan [arctan [x^(1/3)]])²)*f'(x)
<=>
1 = 3*x^(2/3)*(1+x^(2/3))*f'(x)
<=>
f'(x) = 1/(3*x^(2/3)*(1+x^(2/3)))
Das kann man leicht mit der Kenntnis der Ableitung von arctan x überprüfen!
Aufgabenteil b) wird entsprechend durchgeführt. Viel Erfolg!
MfG, Stephan |
|
