| Autor |
Beitrag |
    
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 14:43: | 
|
Moin,
ich sitze vor einer Aufgabe und komme auf keine Idee zur Lösung. Vielleicht kann einer von euch mir ja helfen:
Sei G eine Halbgruppe, K ein Körper und a_1,...,a_n paarweise verschiedene Abbildungen (alle nicht die Nullabb.) von G in K mit a_i(x*y)=a_i(x)*a_i(y) für alle x,y aus G und i aus {1...n}.
Zeige: In dem Funktionenraum der Funktionen von G nach K sind a_1,..,a_n linear unabhängig.
Ich bin für jede Hlfe dankbar.
DULL |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 18:48: |
|
Ich habe den Beweis selbst gefunden, danke.
|
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1661
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 22:03: |
|
Ehrlich? Habe ziemlich lange drüber nachgedacht, und keine befriedigende Lösung gefunden. Wenn es nicht allzu lang ist, kannst du es ja mal aufschreiben. Thx!
Z.
(Beitrag nachträglich am 02., Mai. 2004 von zaph editiert) |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1662
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 23:20: |
|
Moin Dull!
Bin immer noch interessiert!
Z. |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 19:05: |
|
Hi Zaph,
meine Lösung liegt schon bei meiner Übungsgruppen-Leiterin, aber ich versuche mal die Idee zu skizzieren.
Ich habe den Beweis mit Induktion nach n geführt.
Für n=1 ist alles klar, weil a_1 nicht die Nullabbildung ist.
IV:a_1 ... a_n sind lin. unabh.
Dann habe ich angenommen, dass a_n+1=k_1*a_1+k_2*a_2+...+k_n*a_n, wobei o.b.d.A k_1 nicht 0 ist, also dass die Abb. linear abhängig sind.
Da a_n+1 nicht gleich a_1 ist, gibt es ein y in G mit a_n+1 (y) ungleich a_1 (y).
Also gilt für alle x aus G:
a_n+1(x)*a_n+1 (y)=k_1*a_1(x)*a_1(y)+...+k_n*a_n(x)*a_n(y) (*)
aber es gilt auch:
a_n+1(x)*a_n+1 (y)=k_1*a_1(x)*a_n+1(y)+...+k_n*a_n(x)*a_n+1(y) (**)
(*)-(**) ergibt:
k_1*(a_n+1(y)-a_1(y))*a_1(x)+...+k_n*(a_n+1(y)-a_n(y))a_n(x)=0
Nun ist aber k_1 nicht null und a_n+1(y)-a_1(y) auch nicht. Dies ist ein Widerspruch zur Annahmen.
Ich hoffe mal, es hat sich kein Fehler eingeschlichen.
Gruß, DULL |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1663
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 19:35: |
|
Hallo Dull!
Sehr, sehr tricky! Klasse!!! (Habe jedenfalls auch keinen Fehler entdeckt.)
Danke!
Z. |
|
