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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3489
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 19:00: | 
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Hi allerseits,
Damit wir das Tableau der Frenetschen Formeln vervollständigen
können, soll in der Aufgabe LF 212 die Ableitung des
Hauptnormalenvektors n (siehe LF 210) nach der Bogenlänge s
also dn/ds ermittelt und als eine Linearkombination der Vektoren
v, n, b dargestellt werden.
v ist wieder der Tangentenvektor, b der Binormalenvektor.
Die Vektoren v,n,b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
(siehe LF 210).
Die resultierende Formel kommt im Tableau in eine zweite Zeile.
Die erste Zeile ist besetzt durch die Formel (F1), die dritte ist reserviert
für die Formel (F2) aus der Aufgabe LF 210.
Geht man in dieser Weise vor, erhält man im Formelschema
für die skalaren Faktoren der Vektoren v,n,b eine
schiefsymmetrische Matrix MF; da haben kappa und tau ihre
grossen Auftritte.
Die Matrix M-Frenet soll später vorgestellt werden!
Lösungshinweis
Wir stellen n als Vektorprodukt b x v dar und leiten beide Seiten
nach der Bogenlänge s ab.
Das Vektorprodukt kann wie gewohnt mit Hilfe der Produktregel
abgeleitet werden.
Man benütze sodann (F1) und (F2).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1110
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 19:34: |
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Hi megamath,
das mit dem Vektorprodukt hat nicht geklappt, dafür hab ich aber glaub ich schon die Matrix gefunden, und damit auch die Aufgabe gelöst!
M-Frenet:
Nun gilt:
n' = -K * v + T * b
Damit auch F1 und F2!! Wow, das ging alles mit einem Gleichungsstem! Jetzt muss ich aber, morgen gehts wieder rund beim Bund!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3491
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 21:41: |
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Hi Ferdi
Vielen Dank!
Die Matrix ist iO
Auf Détails gehe ich morgen ein.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3492
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 09:07: |
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Hi Ferdi
Herleitung der zweiten Zeile der Frenet-Matrix
mit Hilfe des Vektorprodukts:
Darstellung von n als Vektorprodukt, Faktoren b,v (diese Reihenfolge)
n = b x v; Ableitung nach der Bogenlänge s mit der Produktregel
ergibt eine Summe zweier Vektorprodukte:
dn/ds = db/ds x v + b x dv/ds
( „x“ : Operationszeichen der vektoriellen Multiplikation)
nach (F2):db/ds = - Tn
nach (F1):dv/ds = K n
einsetzen ergibt zunächst:
dn/ds = - T * n x v + K * b x n
es ist aber n x v = - b und b x n = - v ;
dies eingesetzt ergibt das gewünschte Resultat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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