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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3128
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 17:31: | 
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Hi allerseits,
Jetzt erscheint LF 123, eine Verallgemeinerung der Aufgabe
LF 122.
Gegeben ist eine Kegelfläche durch die Gleichung
A^2 x^2 + B^2 y^2 – z^2 = 0 mit A< B.
Das Koordinatensystem ist bereits gut ausgewählt,
wird aber noch optimiert werden.
Man bestimme die Kreisschnitte bei diesem Kegel.
Hinweis
Drehe das Koordinatensystem um die x-Achse:
neue y-Achse : Y-Achse
neue z-Achse Z-Achse.
Drehwinkel alpha mit [cos(alpha)]^2 = (1+A^2) / (1+B^2)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3138
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 07:45: |
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Hi allerseits
Eine weitere Hilfe:
Die Transformationsgleichungen, die zum Ziel führen, lauten:
x = X
y = a Y – b Z
z = b Y + a Z
mit
a = [cos(alpha)] ^ 2 = (1 + A^2) / (1+B^2)
b = [sin (alpha)] ^ 2 = (B^2 – A^2) / (1+B^2)
(Drehung um den Winkel alpha um die x-Achse)
Es entsteht die neue Gleichung bezüglich X, Y, Z:
A^2 X^2 + (a^2 B^2– b^2) Y^2 + (b^2 B^2 – a^2) Z^2
– 2 [1 + B^2 ] a b Y Z = 0
Ersetze die Terme, die a und b enthalten, durch
die oben angegebenen Werte.
Beachte, dass die Koeffizienten von X ^ 2 und Y^2
übereinstimmen !
Schneide sodann die Fläche mit einer zur (X,Y)-Ebene
parallelen Ebene; es entsteht die Gleichung eines Kreises!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3148
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 10:39: |
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Hi Ferdi
LF 123
Auch hier ist eine Korrektur nötig:
Es soll
a^2 = [cos(alpha)] ^ 2 = (1 + A^2) / (1+B^2)
b^2 = [sin (alpha)] ^ 2 = (B^2 – A^2) / (1+B^2)
heissen,
NICHT
a = [cos(alpha)] ^ 2 = (1 + A^2) / (1+B^2)
b = [sin (alpha)] ^ 2 = (B^2 – A^2) / (1+B^2)
Mit den Transformationsformeln
x = X
y = a Y – b Z
z = b Y + a Z
entsteht die neue Gleichung bezüglich X, Y, Z:
A^2 X^2 + (a^2 B^2– b^2) Y^2 + (b^2 B^2 – a^2) Z^2
- 2 [1 + B^2 ] a b Y Z = 0
Ersetze die Terme, die a und b enthalten, durch
die oben angegebenen Werte.
Es genügt, zu zeigen, dass die Koeffizienten von X ^ 2 und Y^2
übereinstimmen, denn dann liegt für jeden Wert von Z
(Schnitte parallel zur (X,Y) -Ebene) eine Kreisgleichung vor.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3149
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 14:05: |
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Hi Ferdi,
Schlussbemerkung zum Kreisschnitt eines schiefen Kreiskegels.
Dieses soeben rechnerisch abgehandelte Thema war in früheren
Zeiten, als die Darstellende Geometrie an unseren Oberrealschulen
in der Schweiz noch eine zentrale Rolle spielte, eine Aufgabe,
die konstruktiv gelöst wurde, jedenfalls für einfache Lagen des Kegels
bezüglich der Projektionsebenen.
Ausgiebig Gebrauch gemacht wurde vom Gedanken der Symmetrie
und - auch hier - vom Begriff der Drehung.
Auch im damals gebräuchlichen Leitfaden der Darstellenden Geometrie
von H. Flükiger (Orell Füssli, Zürich) wurde dem Thema mehr als eine
Druckseite gewidmet, samt einer konzisen Darstellung in
Grund- und Aufriss.
Tempora mutantur …………………
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 974
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 17:55: |
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Hi,
das ist nun nicht mehr schwer!
A^2 = a^2*B^2 - b^2
mit a^2 = (1+A^2) / (1+B^2)
und b^2 = (B^2-A^2) / (1+B^2)
Einsetzen:
(B^2 + (BA)^2 - B^2 + A^2 )/(1+B^2)
((BA)^2 + A^2 ) / (1+B^2)
(A^2(1+B^2))/(1+B^2)
=A^2 q.e.d.
Du wolltest noch erklären, wie du in LF 122 sagtest warum dies mit dieser Transformation so klappt und alles vereinfacht! Wenn es keine Umstäne macht würde ich das gerne wissen, auch wie man auf die Terme für a^2 und b^2 kommt!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3152
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 19:59: |
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Hi Ferdi
Implizit liegt die Antwort auf Deine Frage schon vor!
Sie ist zu finden in der zweiten Zeile Deiner letzten Arbeit;
Die Gleichung lautet:
A^2 = a^2*B^2 - b^2
A und B sind die Bestimmungsstücke des Kegels
a und b sind Daten der Drehung, die erst noch durch die
Beziehung a^2 + b^2 = 1 zusammenhängen,
es gilt ja
a^2 = [cos(alpha)] ^ 2
b^2 = [sin (alpha)] ^ 2
Will man so drehen, dass der Kreisschnitt sichtbar wird,
müssen in der Gleichung
A^2 X^2 + (a^2 B^2– b^2) Y^2 + (b^2 B^2 – a^2) Z^2
- 2 [1 + B^2 ] a b Y Z = 0
Die Koeffizienten von X^2 und Y^2 notwendigerweise
Übereinstimmen.
Das führt auf die Gleichung, die ich oben angesprochen habe.
Löse die Gleichung nach a auf.
Nach einer kurzen Rechnung kommt das entscheidende Resultat:
a = sqrt [(1+A^2) / (1 + B^2)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das sollte genügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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