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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3129
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 17:34: | 
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Hi allerseits
Lockere Folge, Aufgabe LF 124.
Im R3 ist eine Ursprungsgerade g gegeben;
Gleichung in Parameterform:
x = t , y = 4 t , z = 8 t
Der allgemeine Punkt P(x/y/z) des R3 hat
von g den Abstand,der mit Omega
bezeichnet wird.
Berechne PHI (x,y,z) = (Omega) ^2.
Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren
der quadratischen Form PHI.
Wie kann das Resultat gedeutet werden?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 19:16: |
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Hi megamath,
eine nette Aufgabe!
Ich erhalte als quadratische Form:
80x^2 - 8xy + 65y^2 - 64yz + 17z^2 - 16xz = 81*(Omega)^2
Sie hat die Eigenwerte:
L1=0 , L2 = L3 =81
Ein Eigenvektor zu L1 ist v = {1,4,8}!!
Schlüsse:
-wegen der Doppellösung handelt es sich um eine Rotationsfläche
-der Eigenvektor zum Eigenwert L1 liefert uns wieder die gegebene Ursprungsgerade
Ergebniss:
Es handelt sich um einen Rotationszylinder in schiefer Lage mit Achse v = t*{1,4,8} und dem Radius Omega!
mfg
PS Soll ich (falls alles stimmt) für das interessierte Publikum meine ganze Rechnung präsentieren? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3131
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 20:22: |
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Hi Ferdi,
Das ist gut so,schreib es auf ,für alle Zeiten
Besonders die Schlüsse sind aufschlussreich.
nomen est omen !
Frage:
gehörl zum PHI nicht ein Nenner 81, so dass die Eigenwerte dann
0.1 1 sind ?
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 964
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:06: |
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Hi megamath,
wie mans sieht!
Ich wollte Brüche vermeiden, die 81 hab ich zum Omega rüber verschoben, schau mal nach ob du es findest ! Man erhält mit den Brüchen tatsächlich die Eigenwerte L1=0 sowie L2 = L3 = 1 ! Aber macht das einen Unterschied? Wir haben ja ansonsten die selben Ergebnisse??
Meine Rechung dann morgen abend, denn morgen früh steht erst ein schöner 30km-Geländemarsch an!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 966
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 18:49: |
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Hi megamath und andere,
hier die versprochene Herleitung:
Der Abstand eines laufenden Punktes P von der Geraden in Paramterform sei Omega, dann ist Omega^2 das Quadrat des Abstandes!
Wir berechnen den Abstand des Punkte P(x|y|z) von der Geraden X = t * {1,4,8} mit hilfe des Vektorproduktes.
Es gilt nämlich d(P,g)= (u x v)/(|u|) , wobei u gleich dem Einheitsrichtungsvektor von g und v gleich dem Verbindungsvektor eins Punktes von g mit P, nhemen wir hierzu O (0|0|0), damits schön einfach wird! Im Nenner steht der Betarg von u, der ist aber, da wir den Einheitsrichtungsvektor nehmen gleich 1!!
Ausführung:
(1/9){1,4,8} x {x,y,z} = (1/9){(4z-8y),(8x-z),(y-4x)}
Und nun nur noch das Quadrat des Betrages dieses Vektors gleich Omega^2 setzen!
==> (1/81)(80x^2 - 8xy + 65y^2 - 64yz + 17z^2 - 16xz) = (Omega)^2
Nun untersuchen wir die Matrix der Form:
Sie hat das charakteristische Polynom:
T^3 - 162*T^2 + 6561*T = 0
Dessen Nullstellen sind die gesuchte Eigenwerte der Matrix: T=0 und T'=T''=81!
Der Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist w = {1,4,8}!
Da ein doppleter Eigenwert vorliegt handelt es sich um eine Rotationsfläche mit w als Rotationsachse.
Dies kann man sich auch gut vorstellen, wenn der laufende Punkt immer im konstanten Abstand Omega um die Gerade rotiert einsteht ein Zylinder!
Ich hoffe alles war verständlich...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3135
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 19:31: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine Bemühungen.
Deine Herleitng ist verständlich genug
und zeigt allers das,worauf es ankommt,
ganz im Sinn des Aufgabenstellers (!)
MfG
H.R.Moser,megamath |
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