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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3071
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 11:52: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 112 geht es um eine ungewohnte Bestimmung
von Folgegliedern f(n), welche demaskiert werden soll;
f(n) ist als eine (n-1) - reihige symmetrische Determinante
D(n-1) gegeben; dabei ist n>1; als Element tritt die imaginäre
Einheit i mit i^2 = -1 auf.
In der ersten Zeile stehen die n-1 Elemente
1..i..0..0..0……………0
in der zweiten
i..1..i ..0..0…………. .0
in der dritten
0..i..1..i.. 0…………...0
in der vierten
0..0..i..1..i……………0
in der (n-1)-ten Zeile:
0..0 ..0…………..0..i..1
Die Elemente ajj sind alle 1 die Vor- und Nachgänger i;
alle anderen Glieder sind null.
Welche Vermutung über die Glieder f(n) drängt sich auf?
Beweis mit vollständiger Induktion erwünscht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 318
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 13:08: |
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Hi Megamath,
Vermutung:
Wir haben es mit der Folge der Fibonacci-Zahlen zu tun.
Ob mir der Beweis gelingt,muß ich erst noch schauen.
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3072
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 13:29: |
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Hi Olaf,
Deine Vermutung trifft zu!
Go on!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 319
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 16:50: |
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Hi Megamath,
Ich bekomme die Fibonacci-Zahlen nicht mit der Determinante unter einen Hut.
Ich bitte um Verständnis,wenn ich mich zunächst mit meinen Beiträgen zurückhalte.
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3073
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 17:30: |
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Hi Olaf
Eile ist nicht notwendig !
Versuche die allgemeine Determinante nach der ersten Zeile zu entwickeln.
Vielleicht zeigt sich die Rekursionsformel
für die Fibonacci Zahlen.
MfG
H.R.Moser,megaamath |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 892
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 18:36: |
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Hi!
Ich würde das mal so angehen:
Induktionsanfang (n=2, n=3):
D(2-1) = |1| = 1 = f(2)
D(3-1) = 1*1 - i*i = 1 - (-1) = 2 = f(3)
Induktionsvoraussetzung:
Die Determinante D(n) ist gleich f(n+1) mit f(0)=1, f(1)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n).
Induktionsschritt (n -> n+1):
Wir entwickeln tatsächlich nach der ersten Zeile:
Seien Dij die (n x n)-Determinanten, die entstehen, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte von D(n+1) entfernt.
D(n+1) = a1,1*D1,1 - a1,2*D1,2 + a1,3*D1,3 +- ... +/- a1,n+1*D1,n+1
Nach Definition dieser Determinante gilt aber, dass a1,1=1, a1,2=i und die restlichen Elemente =0 sind, also:
D(n+1) = D1,1 - i*D1,2
Betrachten wir D1,1, so sehen wir, dass die Elemente bij der Definition von D(n) genügen, also:
D(n+1) = D(n) - i*D1,2
Für die Elemente der ersten Spalte von D1,2 gilt:
bi,1 = ai+1,1
Also erhalten wir für i=1:
b1,1 = a2,1 = i (nach Definition von D)
Für alle anderen Elemente dieser Spalte gilt dann ebenfalls nach Definition:
bi,1 = 0
Nun können wir die Determinante D1,2 bequem nach der ersten Spalte entwickeln. Da diese nur ein Element enthält, betrachten wir sofort die Unterdeterminante, die daraus entsteht, wenn wir die erste Zeile und Spalte weglassen, und stellen fest, dass sie der Definition von D(n-1) genügt.
Demnach gilt also:
D(n+1) = D(n) - i*D1,2 = D(n) - i*b1,1*D1,2;1,1
= D(n) - i*a2,1*D(n-1) = D(n) - i*i*D(n-1) = D(n) + D(n-1)
Und so werden nach Adam Riese die Fibonaccizahlen gebildet.
MfG
Martin
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3075
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 19:49: |
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Hi Martin
Dein Beweis ist souverän und geht auf das Wesentliche ein.
Die Aufgabe ist hübsch und stellt ein Juwel unter den
vielen Fibonacci - Perlen dar.
Solches wird ausgiebig gepflegt im illustren Kreis
der Mitglieder der Fibonacci-Assoziation (Fibonacci-friends)
Alle zwei Jahre finden internationale Kongresse statt.
Der Hauptsitz dieser Vereinigung befindet sich in Patras,
Griechenland.
Der dritte Kongress fand in Pisa(man höre),
statt.
Vor mir liegend habe ich den reichhaltigen Band (210 Seiten),
der 1987 nach der Tagung in San Jose, Kalifornien,
entstanden ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 320
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 05:24: |
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Hi,
@Martin:
Ein toller Beweis!Offensichtlich war die Aufgabe noch eine Nummer zu groß für mich.
Gruß,Olaf |
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