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Beitrag |
    
Stylar (Stylar)
Junior Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 19:27: | 
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N´Abend.
Hab diese knifflige Aufgabe gestellt bekommen und soll sie übermorgen früh einschicken. Ich grübel seit 5 Tagen drüber nach und bin kein Stück weitergekommen. Vielleicht hat ja hier einer eine Idee oder mußte die Aufgabe auch schon mal beweisen?!?
Im folgenden stellt E das Summenzeichen dar.
E a_n sei die Reihe, die entsteht, wenn man in der harmonischen Reihe E 1/k alle Terme streicht, für die k die Ziffer 9 enthält. Zeige, dass E a_n konvergiert.
DANKE!
Stylar |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 888
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 12:48: |
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Hi!
Wie wäre es mit folgendem Ansatz:
Unsere Reihe hat ja Glieder der Form:
an = 1/n , falls "n ohne 9"
_____ 0 sonst
Nun versuchen wir es mal mit dem Majorantenkriterium. Unsere Majorante soll sein:
Mn = 1/z(n), falls "n ohne 9"
_____ 0 sonst,
wobei z(n) die nächstkleinere (falls nicht schon selbst eine) Zehnerpotenz bezeichnen soll. Also sieht unsere Reihe so aus:
1/1 + 1/1 + 1/1 + 1/1 + 1/1 + 1/1 + 1/1 + 1/1 + 0 + 1/10 + 1/10 + 1/10 + ... + 1/100 + ... etc.
Nun wollen wir zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Das sollte mit dem Cauchy-Kriterium klappen.
Wir formulieren unsere neue Reihe erstmal anders, indem wir gleiche Brüche zusammenfassen und sie zählen.
Für n=1,...,9 erhalten wir 8mal mn=1/1.
Für n=10,...,99 erhalten wir 8*9mal mn=1/10.
Für n=100,...,999 erhalten wir 8*9*9mal mn=1/100.
usw.
Per Induktion müsste zu beweisen sein, dass gilt:
mn = 1/10k für 10k <= n <10k+1, k natürlich.
Also können wir unsere Reihe jetzt so schreiben:
M = Soo n=0 S10n+1-1 k=10n 1/10n
= Soo n=0 8*9n/10n
= 8 * Soo n=0 (9/10)n
= 8 * limn->oo (1-(9/10)n+1)/(1-9/10) (geometrische Reihe)
= 8 * (1-0)/(1-9/10)
= 8 * 1/(1/10) = 8*10 = 80
Es ging also doch ohne Cauchy-Kriterium. Wir haben direkt die Summe unserer Majorante ausgerechnet, die also konvergiert.
Damit konvergiert auch unsere ursprüngliche Folge.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich mich nicht irgendwo bei der Umformung der Majorante vertan habe, aber ich denke, die Idee sollte klar sein...
MfG
Martin
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 889
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 13:47: |
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Noch etwas!
Der Satz mit "Per Induktion..." ist natürlich Mist!
Ich wollte schreiben, dass per Induktion zu beweisen ist:
Die Anzahl An der n-stelligen Zahlen aus N<>0, in denen keine 9 vorkommt, beträgt:
An = 8*9n-1.
Der Beweis:
Induktionsanfang (n=1):
Einfach nachzählen: |{1,2,3,4,5,6,7,8}| = 8 = 8*91-1
Induktionsvoraussetzung:
Für eine n-stellige Zahl gilt: An = 8*9n-1.
Induktionsschritt (n -> n+1):
Sei Mn die Menge der n-stelligen Zahlen, in denen keine 9 vorkommt. Dann gilt:
Mn+1 = {10a+b | a aus Mn, b aus {0,...,8}}
Also gilt:
An+1 = |Mn+1| = |Mn|*|{0,...,8}| = 9*|Mn| = 9*An = 9*8*9n-1 = 8*9n.
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 21., November. 2003 von Martin243 editiert)
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Galileo Galilei
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