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gemuse (gemuse)
Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 21:18: | 
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Hi @ all!
hab ne Frage:
mein Aufgabe:
Von welchem Punkt des Schaubildes von f hat der Punkt Q den kleinsten Abstand?
f(x) = 1/x ,Q(0|0)
=> Länge = d
=> d=Wurzel((1/x -0)² + (x-0)²)
d=Wurzel(1/x² + x²)
d=Wurzel((1+x^4)/x²)
==> d(x) = Wurzel((1+x^4)/x²)
Nun brauch ich die ersten beiden Ableitungen um die minimale Länge der Strecke ausrechnen zu können...
Das Problem: wie leite ich diese Funktion ab?
Ich bin in der elften Klasse und kenne weder Produktregel, Quotientenregel noch Kettenregel, die ,kommen erst in Klasse 12... Kann ich das dann überhaupt lösen???
gruß
gemuse
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 659
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 00:05: |
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Habt Ihr denn schon Funktionen der Form f(x)=xn abgeleitet ?
Dann solltest Du statt d lieber d² minimieren, was wegen d(x)>0 keinen großen Unterschied macht.
Es ist h(x):=d²(x)=1/x²+x4/x² = x-2+x²
=> h'(x) = -2x-3+2x = -2/x3+2x = (-2+2x4)/x3
und somit h'(x)=0 <=> (-2+2x4)/x3 =0 <=> (-2+2x4) = 0 <=> x4=1 <=> x=±1
Eine andere Methode wäre es gewesen, sich zu überlegen, daß der kürzeste Abstand nur da erreicht sein kann, wo die Verbindungsgerade zwischen (0;0) und (x;f(x)) zueinander senkrecht stehen. Dann bestimmt man den Schnittpunkt der Geradenschar ax mit der Funktion f und bestimmt die Werte von a, für die ax senkrecht auf f trifft.
1/x = ax <=> x=±1/Öa
Weiterhin ist f'(±1/Öa ) = ±1/a = -1 <=> a=±1 und somit x = ±1/Ö1 = ±1
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