    
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 499
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. April, 2003 - 00:18: | 
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Hi,
setze für den halben Winkel x/2 eine neue Variable z:
x/2 = z
dann ist:
sin(z) = cos(2z)
Auf Grund der Additionstheoreme ist:
cos(2z) = cos²(z) - sin²(z), also lautet die Gleichung umgeformt:
sin(z) = cos²(z) - sin²(z), für cos²(z) ist 1 - sin²(z) zu setzen:
sin(z) = 1 - 2*sin²(z)
2*sin²(z) + sin(z) - 1 = 0
diese quadratische Gleichung in sin(z) wird mit der Formel aufgelöst:
sin_1,2(z) = (-1 +/- sqrt(1 + 4*2))/4
sin_1,2(z) = (-1 +/- 3)/4
sin_1(z) = 1/2
z_1 = pi/6 (30°) + k*2pi (k*360°) (1. Quadrant)
oder
z_1 = 5*pi/6 (150°) + k*2pi (k*360°) (2. Quadrant)
k € Z (ganze Zahlen)
sin_2(z) = -1
z_2 = 3*pi/2 (270°) + k*2pi (k*360°) k € Z
Somit ergibt sich x (aus der eingangs erfolgten Substitution) jeweils zu 2z:
x = pi/3 + k*4pi, 5*pi/3 + k*4pi; 3pi + k*4pi bzw.
x = 60°, 300°; 540° (+ k*720°)
Wenn nur der Wert im 1. Quadranten zu ermitteln ist, gibt es einen wesentlich einfacheren Lösungsweg:
Verwende die Beziehung: cos(a°) = sin(90° - a°), die Gleichung wird zu
sin(x/2) = sin(90° - x)
Im ersten Quadranten kann man nun die Argumente (Winkelwerte) bei gleicher Winkelfunktion gleichsetzen:
x/2 = 90° - x
3x/2 = 90°
x = 60°
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Gr
mYthos
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